Question

8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx-1經(jīng)過點A（2，-1），它的對稱軸與x軸相交于點B．
（1）求點B的坐標；
（2）如果直線y=x+1與此拋物線的對稱軸交于點C、與拋物線在對稱軸右側(cè)交于點D，且∠BDC=∠ACB．求此拋物線的表達式．

Answer 1

分析 （1）由點A（2，-1）在拋物線y=ax²+bx-1，代入即可；
（2）由于點C是直線y=x+1和拋物線對稱軸x=1的交點，確定出點C的坐標，再根據(jù)△BCD∽△ABC得到BC²=CD×AB，CD的長，從而求出點D坐標，即可．

解答 解：（1）∵點A（2，-1）在拋物線y=ax²+bx-1上，
∴4a+2b-1=-1，
∴-$\frac{2a}$=1，
∴對稱軸為x=1，
∴B（1，0）．
（2）∵直線y=x+1與此拋物線的對稱軸x=1交于點C，
∴C（1，2），
∴BC=2，
∵∠DEB=45°，∠xBA=45°，
∴∠BCD=∠CBA=135°，
∵∠BDC=∠ACB，
∴△BCD∽△ABC，
∴BC²=CD×AB，
∴CD=2$\sqrt{2}$，
設(shè)點D（m，m+1），
∵C（1，2），
∴（m-1）²+（m+1-2）²=（2$\sqrt{2}$）²，
∴m=3或m=-1（舍），
∴D（3，4），
∵點D在拋物線y=ax²+bx-1上，
∴9a+3b-1=4，
∵4a+2b-1=-1，
∴a=$\frac{5}{3}$，b=-$\frac{10}{3}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{5}{3}$x²-$\frac{10}{3}$x-1．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了確定拋物線解析式，對稱軸的方法，相似三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是判定三角形相似．