Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），得到△A₁B₁C，連接BB₁，設(shè)CB₁交AB于D，A₁B₁分別交AB，AC于E，F(xiàn)
（1）求證：△CBD≌△CA₁F；
（2）試用含α的代數(shù)式表示∠B₁BD；
（3）當(dāng)α等于多少度時(shí)，△BB₁D是等腰三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)已知條件，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定方法，來(lái)判定三角形全等．
（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CBA=45°．然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知BC=B₁C，則∠CB₁B=∠CBB₁，所以根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可．
（3）當(dāng)△BBD是等腰三角形時(shí)，要分別討論B₁B=B₁D、BB₁=BD、B₁D=DB三種情況，第一，三種情況不成立，只有第二種情況成立，求得α=30°．

解答：（1）證明：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC．
∵△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°）得到△A₁B₁C，
∴∠A₁=∠A，A₁C=AC，∠ACA₁=∠BCB₁=α．
∴∠A₁=∠CBD，A₁C=BC．
在△CBD與△CA₁F中，

∠CBD=∠CA1F BC=A1F ∠BCD=∠A1CF

，
∴△CBD≌△CA₁F（ASA）．

（2）∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BC=B₁C，則∠CB₁B=∠CBB₁，
∴∠CB₁B=∠CBB₁=

180°-α

2

=90°-

α

2

．
∴∠B₁BD=∠CBB₁-∠CBA=90°-

α

2

-45°=45°-

α

2

；

（3）在△CBB₁中，∵CB=CB₁
∴∠CBB₁=∠CB₁B=

1

2

（180°-α）．
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°．
①若B₁B=B₁D，則∠B₁DB=∠B₁BD，
∵∠B₁DB=45°+α，∠B₁BD=∠CBB₁-45°=

1

2

（180°-α）-45°=45°-

α

2

，
∴45°+α=45°-

α

2

，
∴α=0°（舍去）；
②∵∠BB₁C=∠B₁BC＞∠B₁BD，
∴BD＞B₁D，即BD≠B₁D；
③若BB₁=BD，則∠BDB₁=∠BB₁D，即45°+α=

1

2

（180°-α），α=30°
由①②③可知，當(dāng)△BB₁D為等腰三角形時(shí)，α=30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SAA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．