Question

如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)CF．
（1）求證：
①△AEF≌△DEB；
②四邊形ADCF是平行四邊形；
（2）若AB=AC，∠BAC=90°，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定

專題：

分析：（1）①根據(jù)AAS證△AFE≌△DBE；
②利用①中全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AF=BD．結(jié)合已知條件，利用“有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得結(jié)論；
（2）得出四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出CD=AD，根據(jù)正方形的判定推出即可．

解答：（1）證明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中，

∠AFE=∠DBE ∠FEA=∠BED AE=DE

，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF=BD，
∴AF=DC．

②由（1）知，△AFE≌△DBE，則AF=DB．
∵DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形；

（2）四邊形ADCF是正方形．理由如下：
證明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的中線，
∴AD⊥BC，AD=

1

2

BC=DC，
∴平行四邊形ADCF是正方形．
（注：其他證明方法參照以上評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分．）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．