Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-6，0），點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，-8），直線y=-$\frac{4}{3}$x-4與x、y軸交于點(diǎn)D、E．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖所示，點(diǎn)P是直角三角形ODE的兩個(gè)銳角平分線的交點(diǎn)，求證：∠PDO+∠PEO=45°；
（3）若在x軸上有一點(diǎn)H，滿足2∠HEB=∠DEO，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；
（4）若M為x軸下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)M作y軸的平行線交直線DE于點(diǎn)N，點(diǎn)F是點(diǎn)N關(guān)于直線ME的對(duì)稱點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)F落在y軸上？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-6，0），B（4，0），C（0，-8）的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c，列出方程組，解方程組即可．
（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余以及角平分線的定義，即可證明．
（3）如圖1中，作DP的延長(zhǎng)線交y軸于N，作NM⊥DE于M．首先證明∠ODN=∠H₁EO，根據(jù)tan∠H₁EO=tan∠ODN列出方程即可求解，注意兩種情形．
（4）分三種情形①當(dāng)EM₁平分∠N₁EF₁時(shí)，點(diǎn)F₁落在y軸上，②當(dāng)EM平分∠NEF時(shí)，點(diǎn)F落在y軸上，③當(dāng)EM₂平分∠N₂EF₂時(shí)，點(diǎn)F₂落在y軸上，
根據(jù)MN=EN，分別列出方程求解即可．

解答 解：（1）把A（-6，0），B（4，0），C（0，-8）的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c得到$\left\{\begin{array}{l}{c=-8}\\{36a-6b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-8．

（2）∵∠DOE=90°，
∴∠ODE+∠OED=90°，
∵∠PDO=$\frac{1}{2}$∠ODE，∠PEO=$\frac{1}{2}$∠DEO，
∴∠PDO+∠PEO=$\frac{1}{2}$（∠ODE+∠OED）=45°．

（3）如圖1中，作DP的延長(zhǎng)線交y軸于N，作NM⊥DE于M．

由題意D（-3，0），E（0，-4），
∵∠NDO=∠NDM，NO⊥DO，NM⊥DM，
∴ON=NM，設(shè)ON=MN=x，易知DO=DM=3，DE=5，EM=2
在Rt△NME中，∵EN²=NM²+EM²，
∴（4-x）²=x²+2²，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴ON=$\frac{3}{2}$，
∵OE=OB=4，
∴∠OEB=∠OBE=45°，
∵∠H₁EB+∠H₁EO=45°，$\frac{1}{2}$∠DEO+∠ODN=45°，2∠H₁EB=∠DEO，
∴∠ODN=∠H₁EO，
∴tan∠H₁EO=tan∠ODN=$\frac{ON}{OD}$=$\frac{\frac{3}{2}}{3}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{O{H}_{1}}{OE}$，
∴OH₁=2，
∴點(diǎn)H₁坐標(biāo)為（2，0）．
當(dāng)∠H₂EB=$\frac{1}{2}$∠DEO時(shí)，同理可證，∠EH₂O=∠ODN，
∴tan∠EH₂O=$\frac{1}{2}$=$\frac{OE}{O{H}_{2}}$，
∴OH₂=8，
∴點(diǎn)H₂坐標(biāo)為（8，0），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)H坐標(biāo)為（2，0）或（8，0）．

（4）存在．理由如下：
如圖2中，設(shè)M（m，$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-8），則N（m，-$\frac{4}{3}$m-4）．

①當(dāng)EM₁平分∠N₁EF₁時(shí)，點(diǎn)F₁落在y軸上，
∵M(jìn)₁N₁∥y軸，
∴∠N₁M₁E=∠M₁EF₁=∠M₁EN₁，
∴M₁N₁=EN₁，
∴-$\frac{4}{3}$m-4-（$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-8）=-$\frac{5}{3}$m，
解得m=-4或3（舍棄），
∴M₁（-4，-$\frac{16}{3}$）．
②當(dāng)EM平分∠NEF時(shí)，點(diǎn)F落在y軸上，
由MN=EN，
∴-$\frac{4}{3}$m-4-（$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-8）=$\frac{5}{3}$m，
解得m=1或-12（舍棄），
∴M（1，-7）．
③當(dāng)EM₂平分∠N₂EF₂時(shí)，點(diǎn)F₂落在y軸上，
由M₂N₂=EN₂，
∴（$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-8）-（-$\frac{4}{3}$m-4）=$\frac{5}{3}$m，
解得m=3或-4（舍棄），
∴M₂（3，-3）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)為（-4，-$\frac{16}{3}$）或（1，-7）或（3，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形的內(nèi)心，勾股定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解決，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中考?jí)狠S題．