Question

2．我們定義：“四個頂點都在三角形邊上的四邊形稱為三角形的內(nèi)接四邊形．”
（1）如圖1，已知在三角形ABC中，BC=a，BC邊上的高AD=h，四邊形EFGH為三角形ABC的內(nèi)接正方形．正方形EFGH的邊長是x=$\frac{ah}{a+h}$．
（2）如圖2，矩形EFGH內(nèi)接于銳角三角形ABC，E，F(xiàn)在邊BC上，G，分別落在AC，AB上，設BC=a，BC邊上高AD=h，HG=x，HE=y，請寫出y與x的關(guān)系式，并探索三角形內(nèi)接矩形面積最大的條件．
（3）已知銳角三角形ABC，設其三邊的長分別是a，b，c，且a＜b＜c，一邊分別落在a，b，c上的內(nèi)接正方形邊長分別記為x_a，x_b，x_c，判斷x_a，x_b，x_c，的大小關(guān)系x_a＞x_b＞x_c．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)可得：HG∥BC，進而可得：△AHG∽△ABC，然后由相似三角形的對應高的比等于相似比，得到：$\frac{AP}{AD}=\frac{HG}{BC}$，即$\frac{h-x}{h}=\frac{x}{a}$，從而可求正方形EFGH的邊長x的值；
（2）類似（1）可得：△AHG∽△ABC，然后由相似三角形的對應高的比等于相似比，得到：$\frac{AP}{AD}=\frac{HG}{BC}$，即$\frac{x}{a}=\frac{h-y}{h}$，進而可得y與x的關(guān)系式為：y=-$\frac{h}{a}x$+h；然后根據(jù)矩形的面積公式S=HG•HE=xy=-$\frac{h}{a}{x}^{2}+hx$，然后利用二次函數(shù)的最值公式即可；
（3）設△ABC的三條邊上的對應高分別為h_a，h_b，h_c．由（1）、（2）可得：$\frac{{x}_{a}}{a}$=$\frac{{h}_{a}-{x}_{a}}{{h}_{a}}$，進而表示出x_a=$\frac{a{h}_{a}}{a+ha}$，同理x_b=$\frac{b{h}_}{b+{h}_}$，x_c=$\frac{c{h}_{c}}{c+{h}_{c}}$，然后將它們作差，與0比較，進而得出x_a，x_b，x_c，的大小關(guān)系．

解答 解：如圖1，

∵四邊形EFGH為三角形ABC的內(nèi)接正方形，
∴HG∥BC，HE=HG=FG=EF=x，
∵AD⊥BC，
∴AP⊥HG，
∴PD=HE=x，
∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AD}=\frac{HG}{BC}$，
即$\frac{h-x}{h}=\frac{x}{a}$，
∴x=$\frac{ah}{a+h}$，
故答案為：$\frac{ah}{a+h}$；
（2）如圖2，

∵四邊形EFGH為三角形ABC的內(nèi)接矩形，
∴HG∥BC，
∵AD⊥BC，
∴AP⊥HG，
∴PD=HE=y，
∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AD}=\frac{HG}{BC}$，
即：$\frac{x}{a}=\frac{h-y}{h}$，
∴y=-$\frac{h}{a}x$+h；
設矩形EFGH的面積為S，則S=HG•HE=xy=-$\frac{h}{a}{x}^{2}+hx$，
∵-$\frac{h}{a}$＜0，
∴S有最大值，
當x=$\frac{1}{2}a$時，y=$\frac{1}{2}$h，S_最大值=$\frac{1}{4}ah$，
即三角形內(nèi)接矩形面積最大的條件為：x=$\frac{1}{2}a$，y=$\frac{1}{2}$h；
（3）設△ABC的三條邊上的對應高分別為h_a，h_b，h_c．
由（1）、（2）可得：$\frac{{x}_{a}}{a}$=$\frac{{h}_{a}-{x}_{a}}{{h}_{a}}$，
∴x_a=$\frac{a{h}_{a}}{a+ha}$，
同理x_b=$\frac{b{h}_}{b+{h}_}$，x_c=$\frac{c{h}_{c}}{c+{h}_{c}}$，
∵x_a-x_b=$\frac{a{h}_{a}}{a+{h}_{a}}$-$\frac{b{h}_}{b+{h}_}$=$\frac{2s}{a+{h}_{a}}$-$\frac{2s}{b+{h}_}$=2S（$\frac{1}{a+{h}_{a}}$-$\frac{1}{b+{h}_}$），
=$\frac{2s}{（a+{h}_{a}）（b+{h}_）}•（b+{h}_-a-{h}_{a}）$，
=$\frac{2s}{（a+{h}_{a}）（b+{h}_）}•（b-a）（1-\frac{{h}_{a}}）$，
∵b＞a，h_a＜b，
∴（b-a）（1-$\frac{{h}_{a}}$）＞0，
即x_a-x_b＞0，
∴x_a＞x_b，
同理：x_b＞x_c，
∴x_a＞x_b＞x_c．
故答案為：x_a＞x_b＞x_c．

點評 此題是相似三角形的綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，主要應用了相似三角形的對應高的比等于相似比的性質(zhì)．