Question

12．如圖，四邊形OABC的邊OA，OC分別在y軸、x軸的正半軸，且OA=OC=3，∠OCB=90°，AB=$\sqrt{10}$．
（1）直接寫出四邊形OABC的面積為7.5；
（2）點D在x軸上，且∠BAD=90°，則點D的坐標是（-1，0）；
（3）點P在x軸上，且∠APO=∠BPC，請畫出點P，并直接寫出點P的坐標為（1.8，0）．

Answer 1

分析 （1）過B作BE⊥OA于E，根據矩形的判定可得四邊形BEOC是矩形，根據勾股定理可得AE=1，則OE=BC=OA-AE=2，根據梯形的面積公式可求四邊形OABC的面積；
（2）根據待定系數法可求直線AB的解析式，根據互相垂直的兩條直線的關系，根據待定系數法可求直線AD的解析式，進一步得到點D的坐標；
（3）設點P的坐標為（m，0），根據相似三角形的性質可得比例式$\frac{3}{m}$=$\frac{2}{3-m}$，解得m=1.8．從而得到點P的坐標．

解答 解：（1）過B作BE⊥OA于E，
∵∠OCB=90°，
∴四邊形BEOC是矩形，
∴OE=BC，BE=OC=3，
∴AB²=AE²+BE²，
即：（$\sqrt{10}$）²=AE²+3²，
∴AE=1，
∴OE=BC=OA-AE=2，
∴四邊形OABC的面積為（2+3）×3÷2=7.5．
（2）設直線AB的解析式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
故直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+3，
設直線AD的解析式為y=3x+b₁，則
3=0+b₁，解得b₁=3，
故直線AD的解析式為y=3x+3，
當y=0時，0=3x+3，解得x=-1，
則點D的坐標是（-1，0）；

（3）設點P的坐標為（m，0），則
$\frac{3}{m}$=$\frac{2}{3-m}$，
解得m=1.8．
則點P的坐標為（1.8，0）．
故答案為：7.5；（-1，0）；（1.8，0）．

點評 考查了矩形的判定，勾股定理，梯形的面積，待定系數法求直線解析式，互相垂直的兩條直線的關系，相似三角形的判定和性質，綜合性較強，有一定的難度．