Question

2．如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，∠ADE=∠CDF．
（1）求證：AE=CF；
（2）連接DB交EF于點O，延長OB至點G，使OG=OD，連接EG、FG，判斷四邊形DEGF是怎樣的四邊形，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）證明△DAE≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=DF，證明DG是EF的垂直平分線，得到DE=EG=GF=GF，證明結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠A=∠C=90°，
在△DAE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CDF}\\{DA=DC}\\{∠A=∠C}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DCF，
∴AE=CF；
（2）四邊形DEGF是菱形，
∵△DAE≌△DCF，
∴DE=DF，
∵AE=CF，
∴BE=BF，
∴DG是EF的垂直平分線，
∴GE=GF，
∵OG=OD，DG⊥EF，
∴ED=EG，
∴DE=EG=GF=GF，
∴四邊形DEGF是菱形．

點評 本題考查的是正方形的性質(zhì)、菱形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．