Question

7．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC上一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE且交AG于點(diǎn)F．
（1）如圖1，求證：AE=BF；
（2）如圖2，當(dāng)∠BAG=30°，且AB=2時(shí)，求EF-FG的值．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)角角之間的等量代換得到∠ABF=∠DAE，結(jié)合AB=AD，∠AED=∠BFA，利用AAS證明△ABF≌△DAE，即可得到AE=BF；
（2）首先求出BF和AE的長(zhǎng)度，然后在Rt△BFG中求出BG=2FG，利用勾股定理得到BG²=FG²+BF²，進(jìn)而求出FG的長(zhǎng)，于是可得EF-FG的值．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，
又∵DE⊥AG，BF∥DE，
∴∠AED=∠BFA=90°，
∵∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABF=∠DAE}\\{∠AED=∠BFA}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AE=BF；

（2）解：∵∠BAG=30°，AB=2，∠BEA=90°，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=1，AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴EF=AF-AE=AF-BF=$\sqrt{3}$-1，
∵BF⊥AG，∠ABG=90°，∠BAG=30°，
∴∠FBC=30°，
∴BG=2FG，
由BG²=FG²+BF²，
∴4FG²=FG²+1，
∴FG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴EF-FG=$\sqrt{3}$-1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)AAS證明△ABF≌△DAE，此題難度一般．