Question

17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→A的方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)回到點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接PD．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)功時(shí)間為t（s）．△BOP的面積為S（cm²）（這里規(guī)定：線段是面積為O的幾何圖形）．
（1）求點(diǎn)D到AB的距離；
（2）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)PD∥AC時(shí)，求t的值；
（4）連結(jié)CP，若CP平分∠ACB，直接寫(xiě)出t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解答即可；
（2）分①當(dāng)0≤t≤5時(shí)，②當(dāng)5＜t≤10時(shí)，兩種情況進(jìn)行解答即可；
（3）根據(jù)PD∥AC時(shí)，利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可；
（4）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC，利用相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解答．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，

∴∠BED=∠BCA=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=5$，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{AB}$，
∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴$\frac{DE}{3}=\frac{2}{5}，DE=\frac{6}{5}$，
∴點(diǎn)D到AB的距離為$\frac{6}{5}$；
（2）①當(dāng)0≤t≤5時(shí)，BP=5-t，
${S}_{△BDP}=\frac{1}{2}BP•DE$，
∴$S=\frac{1}{2}×\frac{6}{5}（5-t）=-\frac{3}{5}t+3$；
②當(dāng)5＜t≤10時(shí)，BP=t-5，
${S}_{△BDP}=\frac{1}{2}BP•DE$，
$S=\frac{1}{2}×\frac{6}{5}（t-5）=\frac{3}{5}t-3$；
（3）如圖2，當(dāng)PD∥AC時(shí)，

∴△BDP∽△BCA，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{5-t}{5}=\frac{1}{2}或\frac{t-5}{5}=\frac{1}{2}$，
解得：t=2.5或t=7.5；
（4）t=$\frac{15}{7}$或t=$\frac{55}{7}$，
如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，

∴∠PFB=∠ACB=90°，
∴PF∥AC，
∴△BFP∽△BCA，
∴$\frac{PF}{AC}=\frac{BF}{BC}=\frac{BP}{BA}$，
∴$\frac{PF}{3}=\frac{BF}{4}=\frac{5-t}{5}或PF=\frac{3}{5}（t-5），BF=\frac{4}{5}（t-5）$，
∵CP平分∠ACB，
∴∠PCF=∠FPC=45°，
∴CF=PF=$\frac{3}{5}（5-t）或CF=PF=\frac{3}{5}（t-5）$，
∴$\frac{3}{5}（5-t）+\frac{4}{5}（5-t）=4或\frac{3}{5}（t-5）+\frac{4}{5}（t-5）=4$，
∴$t=\frac{15}{7}或t=\frac{55}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，能求出符合情況的所有情況是解此題的關(guān)鍵，用了分類(lèi)討論思想．