Question

4．如圖，已知直線AB與x軸交于點C，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于A（3，$\frac{20}{3}$）、B（-5，a）兩點．AD⊥x軸于點D，BE∥x軸且與y軸交于點E．
（1）求點B的坐標及直線AB的解析式；
（2）判斷四邊形CBED的形狀，并說明理由；
（3）根據(jù)圖象，直接寫出當直線AB的函數(shù)值不大于雙曲線的函數(shù)值時，自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，將點A代入雙曲線方程求得k值，即利用待定系數(shù)法求得雙曲線方程；然后將B點代入其中，從而求得a值；設直線AB的解析式為y=mx+n，將A、B兩點的坐標代入，利用待定系數(shù)法解答；
（2）由點C、D的坐標、已知條件“BE∥x軸”及兩點間的距離公式求得，CD=5，BE=5，且BE∥CD，從而可以證明四邊形CBED是平行四邊形；然后在Rt△OED中根據(jù)勾股定理求得ED=5，所以ED=CD，從而證明四邊形CBED是菱形；
（3）利用函數(shù)圖象得出一次函數(shù)大于反比例函數(shù)時x的取值范圍．

解答 解：（1）∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于A（3，$\frac{20}{3}$），
∴k=20．
把B（-5，a）代入y=$\frac{20}{x}$，得a=-4．
∴點B的坐標是（-5，-4），
設直線AB的解析式為y=mx+n，
將A（3，$\frac{20}{3}$）、B（-5，-4）代入，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{20}{3}=3m+n}\\{-4=-5m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{3}}\\{n=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$；
（2）四邊形CBED是菱形．理由如下：
∵直線AB的解析式為：y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$，
∴當y=0時，x=-2，
∴點C的坐標是（-2，0）；
∵點D在x軸上，AD⊥x軸，A（3，$\frac{20}{3}$），
∴點D的坐標是（3，0），
∵BE∥x軸，
∴點E的坐標是（0，-4）．
而CD=5，BE=5，且BE∥CD．
∴四邊形CBED是平行四邊形．
在Rt△OED中，ED²=OE²+OD²，
∴ED=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴ED=CD．
∴平行四邊形CBED是菱形；
（3）利用圖象可得：當直線AB的函數(shù)值不大于雙曲線的函數(shù)值時，自變量x的取值范圍為x≤-5或0＜x≤3．

點評 此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例的解析式以及菱形的判定與性質等知識，利用數(shù)形結合比較得出函數(shù)值大小以及結合菱形判定得出是解題關鍵．