Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+5經(jīng)過點A（-1，0），B（2，5），拋物線與x軸的另一個交點為C點，點P為y軸上一動點，作平行四邊形BPCD．
（1）求C點的坐標(biāo)；
（2）是否存在P點，使四邊形BPCD為矩形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）連結(jié)PD，PD的長度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由；
（4）若E為AC中點，求拋物線上滿足到E點的距離小于2的所有點的橫坐標(biāo)x的范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將A、B兩點的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+5，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再將y=0代入，解一元二次方程即可求出C點的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線y=-

5

3

x²+

10

3

x+5與y軸交于點F，連結(jié)BF，則∠BFP=90°，先證明△BPF∽△PCO，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出OP，然后寫出點P的坐標(biāo)即可；
（3）連接BC，設(shè)PD、BC相交于點H，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得PD=2PH，再求出點H的坐標(biāo)，再根據(jù)垂線段最短可得PH⊥y軸時，PH最短，從而求出PH，再求出PD即可；
（4）先寫出以點E為圓心，以2為半徑的圓的解析式，然后消掉x得到關(guān)于y的一元二次方程，求解得到y(tǒng)的值，再代入拋物線解析式求出到點E的距離等于2的橫坐標(biāo)x的值，然后根據(jù)函數(shù)圖象解答．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+5經(jīng)過點A（-1，0），B（2，5），
∴

a-b+5=0 4a+2b+5=5

，
解得

a=- 5 3 b= 10 3

，
∴y=-

5

3

x²+

10

3

x+5，
當(dāng)y=0時，-

5

3

x²+

10

3

x+5=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴C點的坐標(biāo)為（3，0）；

（2）如圖，設(shè)拋物線y=-

5

3

x²+

10

3

x+5與y軸交于點F，則F點坐標(biāo)為（0，5），連結(jié)BF．
∵B（2，5），
∴∠BFP=90°，
∵四邊形BPCD為矩形，∠BPC=90°，
∴∠BPF+∠OPC=90°，
∵∠OPC+∠PCO=90°，
∴∠BPF=∠PCO．
在△BPF與△PCO中，

∠BPF=∠PCO ∠BFP=∠POC=90°

，
∴△BPF∽△PCO，
∴

PF

CO

=

BF

PO

，
∵B（2，5），F(xiàn)（0，5），C（3，0），
∴BF=2，OC=3，OF=5，
∴PF=5-OP，
∴

5-OP

3

=

2

OP

，
整理得，OP²-5OP+6=0，
解得OP=2或OF=3，
∴點P的坐標(biāo)為（0，2）或（0，3）；

（3）連接BC，設(shè)PD、BC相交于點H，
∵四邊形BPCD是平行四邊形，
∴PD、BC互相平分，
∴PD=2PH，
又∵C（3，0），B（2，5），
∴點H的坐標(biāo)為（2.5，2.5），
根據(jù)垂線段最短，PH⊥y軸時，PH最短，
此時，PH=2.5，
PD=2PH=2×2.5=5；

（4）拋物線解析式為y=-

5

3

x²+

10

3

x+5=-

5

3

（x-1）²+

20

3

，
∵E為AC中點，
∴點E的坐標(biāo)為（1，0），
∴以E為圓心，以2為半徑的圓為（x-1）²+y²=4，
與拋物線解析式聯(lián)立消掉（x-1）²得，-

5

3

（4-y²）+

20

3

=y，
整理得，5y²-3y=0，
解得y₁=0，y₂=

3

5

，
y=

3

5

時，-

5

3

（x-1）²+

20

3

=

3

5

，
整理得，（x-1）²=

91

25

，
解得x₁=

5- 91

5

，x₂=

5+ 91

5

，
故當(dāng)-1＜x＜

5- 91

5

或

5+ 91

5

＜x＜3時，拋物線上的點到E點的距離小于2．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，其中涉及到的知識點有利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的對角線互相平分的性質(zhì)等知識，綜合性較強．利用圓的解析式求出拋物線到點E的距離等于2的點的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．