Question

1．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，BC=6，AB=3，E為BC邊上一點(diǎn)，以BE為邊作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同側(cè)．
（1）①如圖1，當(dāng)正方形的頂點(diǎn)F恰好落在對角線AC上時(shí)，求BE的長；
②當(dāng)正方形的頂點(diǎn)F恰好落在邊CD上時(shí)，請直接寫出BE的長為$\frac{18}{7}$；
（2）將圖1中的正方形BEFG沿BC向右平移，記平移中的正方形BEFC為正方形MEFG，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移．設(shè)平移的距離為t，正方形MEFG的邊EF與AC交于點(diǎn)N，連接MD，MN，DN，是否存在這樣的實(shí)數(shù)t，使△DMN是直角三角形？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①如圖1，首先設(shè)正方形BEFG的邊長為x，易得△AGF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得BE的長；
②如圖2，過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，交GF于點(diǎn)M，構(gòu)建相似三角形：△DMF∽△FEC，結(jié)合該相似三角形的對應(yīng)邊成比例和正方形的性質(zhì)解答即可；
（2）首先利用△NEC∽△ABC與勾股定理，求得MN，DN與MD的平方，然后分別從若∠DMN=90°，則DN²=MN²+MD²，若∠DMN=90°，則DM²=MN²+MD²，若∠MDN=90°，則MN²=MD²+DN²去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案．

解答 解：（1）如圖1，設(shè)正方形BEFG的邊長為x，
則BE=FG=BG=x，
∵AB=3，BC=6，
∴AG=AB-BG=3-x，
∵GF∥BE，
∴△AGF∽△ABC，
∴$\frac{AG}{AB}$=$\frac{GF}{BC}$，
即$\frac{3-x}{3}$=$\frac{x}{6}$，
解得：x=2，
即BE=2；

①如圖2，過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，交GF于點(diǎn)M，
∵∠DMF=∠FEC=90°，∠DFM=∠FCE，
∴△DMF∽△FEC，
則$\frac{DM}{EF}$=$\frac{MF}{CE}$，即$\frac{3-BE}{BE}$=$\frac{BE-2}{6-BE}$，
故BE=$\frac{18}{7}$．
故答案是：$\frac{18}{7}$．

（2）存在滿足條件的t，
理由：如圖3，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，
則BH=AD=2，DH=AB=3，
由題意得：BM=HE=t，HM=|t-2|，EC=4-t，
∵EF∥AB，
∴△NEC∽△ABC，
∴$\frac{NE}{AB}$=$\frac{EC}{BC}$，即$\frac{NE}{3}$=$\frac{4-t}{6}$，
∴NE=2-$\frac{1}{2}$t，
在Rt△MNE中，MN²=NE²+ME²=2²+（2-$\frac{1}{2}$t）²=$\frac{1}{4}$t²-2t+8，
在Rt△DHM中，MD²=DH²+MH²=3²+（t-2）²=t²-4t+13，
過點(diǎn)N作NN′⊥DH于N′，
則NN′=HE=t，N′H=NE=2-$\frac{1}{2}$t，
∴DN′=DH-N′H=3-（2-$\frac{1}{2}$t）=$\frac{1}{2}$t+1，
在Rt△DNN′中，DN²=DN^′2+NN′²=$\frac{5}{4}$t²+t+1，
（Ⅰ）若∠DMN=90°，則DN²=MN²+MD²，
即$\frac{5}{4}$t²+t+1=（$\frac{1}{4}$t²-2t+8）+（t²-4t+13），
解得：t=$\frac{20}{7}$，
（Ⅱ）若∠MND=90°，則MD²=MN²+DN²，
即t²-4t+13=（$\frac{1}{4}$t²-2t+8）+（$\frac{5}{4}$t²+t+1），
解得：t₁=-3+$\sqrt{17}$，t₂=-3-$\sqrt{17}$（舍去），
∴t=-3+$\sqrt{17}$；
（Ⅲ）若∠MDN=90°，則MN²=MD²+DN²，
即：$\frac{1}{4}$t²-2t+8=（t²-4t+13）+（$\frac{5}{4}$t²+t+1），
此方程無解，
綜上所述，當(dāng)t=$\frac{20}{7}$或-3+$\sqrt{17}$時(shí)，△MDN是直角三角形．

點(diǎn)評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與分類討論思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．