Question

5．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=2$\sqrt{2}$，以點A為圓心，AD為半徑的圓與BC相切于點E，交AB于點F
（1）求∠ABE的大小及$\widehat{DEF}$的長度；
（2）在BE的延長線上取一點G，使得$\widehat{DE}$上的一個動點P到點G的最短距離為2$\sqrt{2}$-2，求BG的長．

Answer 1

分析 （1）連接AE，如圖1，根據圓的切線的性質可得AE⊥BC，解Rt△AEB可求出∠ABE，進而得到∠DAB，然后運用圓弧長公式就可求出$\widehat{DEF}$的長度；
（2）如圖2，根據兩點之間線段最短可得：當A、P、G三點共線時PG最短，此時AG=AP+PG=2$\sqrt{2}$=AB，根據等腰三角形的性質可得BE=EG，只需運用勾股定理求出BE，就可求出BG的長．

解答 解：（1）連接AE，如圖1，
∵AD為半徑的圓與BC相切于點E，
∴AE⊥BC，AE=AD=2．
在Rt△AEB中，
sin∠ABE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠ABE=45°．
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABE=180°，
∴∠DAB=135°，
∴$\widehat{DEF}$的長度為$\frac{135π•2}{180}$=$\frac{3π}{2}$；

（2）如圖2，
根據兩點之間線段最短可得：
當A、P、G三點共線時PG最短，
此時AG=AP+PG=2+2$\sqrt{2}$-2=2$\sqrt{2}$，
∴AG=AB．
∵AE⊥BG，
∴BE=EG．
∵BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{8-4}$=2，
∴EG=2，
∴BG=4．
綜上，存在滿足條件的BG=4．

點評 本題主要考查了圓的切線的性質、三角函數的定義、特殊角的三角函數值、平行線的性質、圓弧長公式、等腰三角形的性質、兩點之間線段最短、勾股定理等知識，根據兩點之間線段最短得到A、P、G三點共線時PG最短，是解決第（2）小題的關鍵，注意有兩解．