Question

19．對于一切不小于2的自然數(shù)n，關于x的一元二次方程x²-（n+2）x-2n²=0的兩個根記作a_n，b_n（n≥2），則$\frac{1}{{（{a_2}-2）（{b_2}-2）}}$$+\frac{1}{{（{a_3}-2）（{b_3}-2）}}$+…$\frac{1}{（{a}_{2012}-2）（_{2012}-2）}$=-$\frac{2011}{8052}$．

Answer 1

分析 由根與系數(shù)的關系得a_n+b_n=n+2，a_n•b_n=-2n²，所以（a_n-2）（b_n-2）=a_nb_n-2（a_n+b_n）+4=-2n²-2（n+2）+4=-2n（n+1），則$\frac{1}{（{a}_{n}-2）（_{n}-2）}$=-$\frac{1}{2n（n+1）}$=-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），然后代入即可求解．

解答 解：由根與系數(shù)的關系得a_n+b_n=n+2，a_n•b_n=-2n²，
所以（a_n-2）（b_n-2）=a_nb_n-2（a_n+b_n）+4=-2n²-2（n+2）+4=-2n（n+1），
則$\frac{1}{（{a}_{n}-2）（_{n}-2）}$=-$\frac{1}{2n（n+1）}$=-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{{（{a_2}-2）（{b_2}-2）}}$$+\frac{1}{{（{a_3}-2）（{b_3}-2）}}$+…$\frac{1}{（{a}_{2012}-2）（_{2012}-2）}$=-$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}$）]=-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2013}$）=-$\frac{1}{2}$×$\frac{2011}{4026}$=-$\frac{2011}{8052}$．
故答案為：-$\frac{2011}{8052}$．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關系，難度較大，關鍵是根據(jù)根與系數(shù)的關系求出一般形式再進行代入求值．