Question

15．已知：拋物線l₁：y=-x²+2x+3交x軸于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，拋物線l₂經(jīng)過點(diǎn)A，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E（6，0），交y軸于點(diǎn)D（0，3）．
（1）求拋物線l₂的函數(shù)表達(dá)式；
（2）P為拋物線l₁的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PC，當(dāng)∠APC=90°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）M為拋物線l₂上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線MN∥y軸，交拋物線l₁于點(diǎn)N，求點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E的過程中，線段MN長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過解方程-x²+2x+3=0得A（-1，0）設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-6），然后把D點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a的值即可得到得拋物線l₂的解析式；
（2）先求出C（0，3）和拋物線y=-x²+2x+3的對(duì)稱軸為直線x=1，則設(shè)P（1，t），利用兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理得到1²+（t-3）²+2²+t²=10，然后解方程求出t即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）拋物線l₂與拋物線l₁經(jīng)過的另一個(gè)交點(diǎn)為F，如圖2，先通過解方程$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x-3=-x²+2x+3得F（4，-5），設(shè)M（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x-3），則N（x，-x²+2x+3），討論：當(dāng)-1≤x＜4時(shí)，MN=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x+6；當(dāng)4≤x≤6時(shí)，MN=$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x-6=$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{75}{8}$，然后分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出兩種情況下的MN的最大值，再比較大小即可得到點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E的過程中，線段MN長(zhǎng)度的最大值．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則A（-1，0）
設(shè)拋物線l₂的解析式為y=a（x+1）（x-6），
把D（0，-3）代入得a•1•（-6）=-3，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以拋物線l₂的解析式為y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-6），即y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x-3；
（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=-x²+2x+3=3，則C（0，3）
拋物線y=-x²+2x+3的對(duì)稱軸為直線x=1，
設(shè)P（1，t），則AC²=1²+3²=10，PC²=1²+（t-3）²，PA²=2²+t²，
∵∠APC=90°，
∴PC²+PA²=AC²，即1²+（t-3）²+2²+t²=10，
整理得t²-3t+2=0，解得t₁=1，t₂=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）或（1，2）；
（3）拋物線l₂與拋物線l₁經(jīng)過的另一個(gè)交點(diǎn)為F，如圖2，
解方程$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x-3=-x²+2x+3得x₁=-1，x₂=4，則F（4，-5），
設(shè)M（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x-3），則N（x，-x²+2x+3），
當(dāng)-1≤x＜4時(shí)，MN=-x²+2x+3-（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x-3）=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x+6=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，此時(shí)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，MN有最大值$\frac{75}{8}$；
當(dāng)4≤x≤6時(shí)，MN=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x-3-（-x²+2x+3）=$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x-6=$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{75}{8}$，此時(shí)x=6時(shí)，MN有最大值21；
所以點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E的過程中，線段MN長(zhǎng)度的最大值為21．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，會(huì)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理．