Question

11．如圖1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為2cm/s，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC．
（2）是否存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖2，把△APQ沿AP翻折，得到四邊形AQPQ′．那么是否存在某時(shí)刻t使四邊形AQPQ′為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)PQ∥BC，得出△APQ∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，列出比例式，求出方程的解即可；
（2）假設(shè)存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，據(jù)此得出一元二次方程；由于此一元二次方程的判別式小于0，則可以得出結(jié)論：不存在這樣的某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分；
（3）首先根據(jù)菱形的性質(zhì)及相似三角形比例線段關(guān)系，求得PQ、QD和PD的長(zhǎng)度；然后在Rt△PQD中，根據(jù)勾股定理列出方程（8-$\frac{18}{5}$t）²+（6-$\frac{6}{5}$t）²=（2t）²，求得時(shí)間t的值；最后根據(jù)菱形的面積等于△AQP面積的2倍，進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）由題意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=2t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，
即$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{2t}{8}$，
解得：t=$\frac{20}{9}$，
∴當(dāng)t=$\frac{20}{9}$時(shí)，PQ∥BC；

（2）如圖1所示，過(guò)P點(diǎn)作PD⊥AC于點(diǎn)D，
∴PD∥BC，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{BC}$，即$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{PD}{6}$，
解得$PD=6-\frac{6}{5}t$，
∴△AQP的面積$S=\frac{1}{2}PD×AQ=6t-\frac{6}{5}{t^2}$，
假設(shè)存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，
則有S_△AQP=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∵△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=24，
∴S_△AQP=12，
而S_△AQP=$6t-\frac{6}{5}{t^2}$，
∴$6t-\frac{6}{5}{t^2}=12$，
化簡(jiǎn)得：t²-5t+10=0，
∵△=（-5）²-4×1×10=-15＜0，
∴此方程無(wú)解，
∴不存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分；

（3）假設(shè)存在時(shí)刻t，使四邊形AQPQ′為菱形，則有AQ=PQ=BP=2t．
如圖2所示，過(guò)P點(diǎn)作PD⊥AC于點(diǎn)D，則有PD∥BC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{BC}$，
即$\frac{AD}{8}$=$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{PD}{6}$，
解得：PD=6-$\frac{6}{5}$t，AD=8-$\frac{8}{5}$t，
∴QD=AD-AQ=8-$\frac{8}{5}$t-2t=8-$\frac{18}{5}$t，
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD²+PD²=PQ²，
即（8-$\frac{18}{5}$t）²+（6-$\frac{6}{5}$t）²=（2t）²，
化簡(jiǎn)得：13t²-90t+125=0，
解得：t₁=5，t₂=$\frac{25}{13}$，
∵當(dāng)t=5時(shí)，AQ=10cm＞AC，不合題意，舍去，
∴t=$\frac{25}{13}$，
∵當(dāng)t=$\frac{25}{13}$時(shí)，S_△AQP=$6t-\frac{6}{5}{t^2}$=6×$\frac{25}{13}$-$\frac{6}{5}$×（$\frac{25}{13}$）²=$\frac{1200}{169}$cm²，
∴S_{菱形AQPQ′}=2S_△AQP=2×$\frac{1200}{169}$=$\frac{2400}{169}$cm²．
故存在時(shí)刻t=$\frac{25}{13}$s，使四邊形AQPQ′為菱形，此時(shí)菱形的面積為$\frac{2400}{169}$cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形的面積計(jì)算，勾股定理的逆定理，解一元二次方程以及相似三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形以及直角三角形，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例以及勾股定理進(jìn)行列式求解．