Question

1．已知AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是半圓O上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是線(xiàn)段AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，保持CD=OA．
（Ⅰ）當(dāng)直線(xiàn)CD與半圓O相切時(shí)（如圖①），求∠ODC的度數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)CD與半圓O相交時(shí)（如圖②），設(shè)另一交點(diǎn)為E，連接AE，若AE∥OC，求∠ODC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）連接OC，因?yàn)镃D是⊙O的切線(xiàn)，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD，即可求得．
（2）連接OE，利用等腰三角形及平行線(xiàn)的性質(zhì)，可求得∠ODC的度數(shù)．

解答 解：（1）如圖①，連接OC，
∵OC=OA，CD=OA，
∴OC=CD，
∴∠ODC=∠COD，
∵CD是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠OCD=90°，
∴∠ODC=45°；

（2）如圖②，連接OE．
∵CD=OA，∴CD=OC=OE=OA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵AE∥OC，
∴∠2=∠3．
設(shè)∠ODC=∠1=x，則∠2=∠3=∠4=x．
∴∠AOE=∠OCD=180°-2x．
∵∠6=∠1+∠2=2x．
∵OE=OC，∴∠5=∠6=2x．
∵AE∥OC，
∴∠4+∠5+∠6=180°，即：x+2x+2x=180°，
∴x=36°．
∴∠ODC=36°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線(xiàn)性質(zhì)，全等三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及平行線(xiàn)的性質(zhì)等，作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．