Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，拋物線y=x²+bx+c與直線y=2x-6交于x軸正半軸上的B點，拋物線與x軸的負半軸交于點A，與y軸的負半軸交于點C，OB=3OA．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D為拋物線的頂點，連接BD，CD，若線段BD上有一點P，使∠OCP+∠CDP=180°，求∠DCP的正切值；
（3）在（2）的條件下，在拋物線上存在點E，作EF⊥CD，交直線CD于點F，使∠CEF=∠DCP，求出點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)一次函數(shù)解析式求出B點坐標，再利用OB=3OA得到A點坐標，然后利用交點式可得拋物線解析式；
（2）過點D作DH⊥x軸于H，如圖1，先配方得到y(tǒng)=（x-1）²-4，則D（1，-4），再利用∠OCP+∠CDP=180°，∠OCP+∠1+∠DCP=180°得∠CDP=∠1+∠PCD，而由DH∥OC得到∠1=∠CDH，所以∠PCD=∠HDB，然后在Rt△BDH中，利用正切的定義計算出tan∠HDB=$\frac{BH}{DH}$=$\frac{1}{2}$，從而得到tan∠PCD=$\frac{1}{2}$；
（3）分類討論：當點F在射線CD上時，延長EF交y軸于M，過點D作DG⊥y軸于G，過點E作EK⊥y軸于K，如圖2，易得C（0，-3），則CG=DG=1，△DCG為等腰直角三角形，所以∠DCG=45°，易得△CMF和△MEK都是等腰直角三角形；由②得tan∠CEF=tan∠DCP=$\frac{1}{2}$，若設CF=a，則EF=2a，MF=a，EM=3a，根據(jù)等腰直角三角形的性質得KM=KE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，CM=$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{2}$a，則OK=OM-KM=OC+CM-KM=3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，于是可表示出E（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a-3），利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征得（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a）²-2•$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a-3=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a-3，解得a₁=0（舍去），a₂=$\frac{7\sqrt{2}}{9}$，于是得到E（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）；當點F在線段DC的延長線上時，用同樣方法得E（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a-3），把E點坐標代入拋物線解析式得（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²-2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$a-3=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a-3，則可解得a₁=0（舍去），a₂=5$\sqrt{2}$，易得E（5，12），所以綜上所述，E點坐標為（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）或（5，12）．

解答 解：（1）當y=0時，2x-6=0，解得x=3，則B（3，0），
∵OB=3OA，
∴OA=1，
∴A（-1，0），
∴拋物線解析式為y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3；
（2）過點D作DH⊥x軸于H，如圖1，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4），
∴DH=4，OH=1，
∵∠OCP+∠CDP=180°，
而∠OCP+∠1+∠DCP=180°，
∴∠CDP=∠1+∠PCD，
∴DH∥OC，
∴∠1=∠CDH，
∴∠PCD=∠HDB
在Rt△BDH中，tan∠HDB=$\frac{BH}{DH}$=$\frac{3-1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠PCD=$\frac{1}{2}$；
（3）當點F在射線CD上時，延長EF交y軸于M，過點D作DG⊥y軸于G，過點E作EK⊥y軸于K，如圖2，
當x=0時，y=x²-2x-3=-3，則C（0，-3），
∵CG=OG-OC=4-3=1，DG=1，
∴CG=DG，
∴△DCG為等腰直角三角形，
∴∠DCG=45°，
∵EF⊥CD，
∴∠CMF=45°，
∴△CMF和△MEK都是等腰直角三角形，
由②得tan∠CEF=tan∠DCP=$\frac{1}{2}$，
設CF=a，則EF=2a，MF=a，
∴EM=3a，
∴KM=KE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，CM=$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{2}$a，
∵OK=OM-KM=OC+CM-KM=3+$\sqrt{2}$a-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a=3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴E（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a-3），
∴E點在拋物線y=x²-2x-3上，
∴（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a）²-2•$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a-3=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a-3，
整理得9a²-7$\sqrt{2}$a=0，解得a₁=0（舍去），a₂=$\frac{7\sqrt{2}}{9}$，
∴E（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）
當點F在線段DC的延長線上時，同樣方法可得E（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a-3），
∴E點在拋物線y=x²-2x-3上
∴（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²-2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$a-3=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a-3，
整理得a²-5$\sqrt{2}$a=0，解得a₁=0（舍去），a₂=5$\sqrt{2}$，
∴E（5，12）．
綜上所述，E點坐標為（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）或（5，12）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質和等腰直角三角形的判定與性質；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質；會解一元二次方程．