Question

6．如圖，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，且D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)．延長BC至點(diǎn)F，使CF=CE．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）求證：BE=FE；
（3）若AB=2，求△CEF的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的判定得出△ABC是等邊三角形，即可得出∠ABC的度數(shù)；
（2）根據(jù)BE=FE得出∠F=∠CEF=30°，再等邊三角形的性質(zhì)得出∠EBC=30°，即可證明；
（3）過E點(diǎn)作EG⊥BC，根據(jù)三角形面積解答即可．

解答 解：（1）∵BE⊥AC于E，E是AC的中點(diǎn)，
∴△ABC是等腰三角形，即AB=BC，
∵AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°；
（2）∵CF=CE，
∴∠F=∠CEF，
∵∠ACB=60°=∠F+∠CEF，
∴∠F=30°，
∵△ABC是等邊三角形，BE⊥AC，
∴∠EBC=30°，
∴∠F=∠EBC，
∴BE=EF；
（3）過E點(diǎn)作EG⊥BC，如圖：
∵BE⊥AC，∠EBC=30°，AB=BC=2，
∴BE=$\sqrt{3}$，CE=1=CF，
在△BEC中，EG=$\frac{CE•BE}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${S}_{△ECF}=\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．