Question

13．如圖，AB為⊙O的直徑，AC為弦，∠BAC的平分線交⊙O于D，過D作⊙O的切線交AC的延長(zhǎng)線于E，OE交AD于F．
（1）求證：DE⊥AE；
（2）若$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，求$\frac{DF}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由條件可證明OD∥AE，結(jié)合切線的性質(zhì)可求得∠AED=90°，可證明DE⊥AE；
（2）設(shè)AC=3k，AB=5k，BC=4k，可證OD垂直平分BC，利用勾股定理可得到OG，得到DG，于是AE=4k，然后通過OD∥AE，利用相似比即可求出$\frac{DF}{AF}$的值．

解答 （1）證明：
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE為⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AE；
（2）解：
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥AE，
∴∠OGB=∠ACB=90°，
∴OD⊥BC，
∴G為BC的中點(diǎn)，即BG=CG，
又∵$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴設(shè)AC=3k，AB=5k，根據(jù)勾股定理得：BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=4k，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$k，BG=$\frac{1}{2}$BC=2k，
∴OG=$\sqrt{O{B}^{2}-B{G}^{2}}$=$\frac{3}{2}$k，
∴DG=OD-OG=$\frac{5}{2}$k-$\frac{3}{2}$k=k，
又∵四邊形CEDG為矩形，
∴CE=DG=k，
∴AE=AC+CE=3k+k=4k，
而OD∥AE，
∴$\frac{FD}{AF}$=$\frac{OD}{AE}$=$\frac{\frac{5}{2}k}{4k}$=$\frac{5}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了切線的判定定理，能夠綜合運(yùn)用角平分線的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．