Question

如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直線OA于D，G，交OB于點E，連接DE并延長DE交AB于F，且DE⊥AB
（1）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）若DE=2EF，AB=4

3

，求圓中陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）連接OE，由OA=OB，CA=CB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OC⊥AB，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）過O點作OH⊥ED于H，則EH=DH，由E=2FE，得到DH=

1

3

DF，又因為OH∥BA，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到DH：DF=DO：DA，AO=2OD，則OB=2OC，得到∠B=30°，而BC=

1

2

AB=2

3

，利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到OC=

3

3

BC=2，然后根據(jù)三角形和扇形的面積公式利用S_陰影部分=S_△OAB-S_扇形OEG計算即可．

解答：（1）證明：連接OC，如圖，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴直線AB是⊙O的切線；

（2）解：過O點作OH⊥ED于H，如圖，
∵OE=OD，
∴EH=DH，
∵ED=2EF，
∴DH=

1

3

DF，
而DF⊥AB，
∴OH∥BA，
∴DH：DF=DO：DA，
∴AO=2OD，
∴OB=2OC，
∴∠B=30°，∠COB=60°
而BC=

1

2

AB=2

3

，
∴OC=

3

3

BC=2，
∴S_陰影部分=S_△OAB-S_扇形OEG
=

1

2

•4

3

•2-

120•π•22

360

=4

3

-

4

3

π．

點評：本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了扇形的面積公式以及三角形相似的判定與性質(zhì)．