Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=2x²+mx+n經過點A（﹣1，a），B（3，a），且最低點的縱坐標為﹣4．

（1）求拋物線的表達式及a的值；

（2）設拋物線頂點C關于y軸的對稱點為點D，點P是拋物線對稱軸上一動點，記拋物線在點A，B之間的部分為圖象G（包含A，B兩點），如果直線DP與圖象G恰好有兩個公共點，結合函數圖象，求點P縱坐標t的取值范圍．

（3）拋物線上有一個動點Q，當點Q在該拋物線上滑動到什么位置時，滿足S_△QAB=12，并求出此時Q點的坐標．

　

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）根據A和B的縱坐標相同，則一定是對稱點，則可以求得對稱軸，則拋物線的頂點坐標即可求得，然后利用待定系數法求得拋物線的解析式和a的值；

（2）首先求出直線CD的表達式和直線BD的表達式，然后求得直線BD與x軸的交點，根據圖象即可確定；

（3）首先求得AB的長，根據三角形的面積公式即可求得AB邊上的高，從而求得Q的縱坐標，然后代入二次函數解析式求得Q的橫坐標即可．

【解答】解：（1）∵拋物線y=2x²+mx+n過點A（﹣1，a ），B（3，a），

∴拋物線的對稱軸x=1．

∵拋物線最低點的縱坐標為﹣4，

∴拋物線的頂點是（1，﹣4）．

∴拋物線的表達式是y=2（x﹣1）²﹣4，

即y=2x²﹣4x﹣2．

把A（﹣1，a ）代入拋物線表達式y(tǒng)=2x²﹣4x﹣2，則a=4；

（2）∵拋物線頂點C（1，﹣4）關于y軸的對稱點為點D，

∴D（﹣1，﹣4）．

求出直線CD的表達式為y=﹣4．

B的坐標是（3，4），設BD的解析式是y=kx+b，

則，

解得：，

則直線BD的表達式為y=2x﹣2，當x=1時，y=0．

所以﹣4＜t≤0；

（3）存在點Q，使△QAB的面積等于12，

AB=3﹣（﹣1）=4，

設P到AB的距離是d，則×4d=12，

解得：d=6，

則Q的縱坐標是4﹣6=﹣2，或4+6=10．

當Q的縱坐標是﹣2時，在y=2x²﹣4x﹣2中令y=﹣2，則2x2﹣4x=0，

解得：x=0或2，

則Q的坐標是（0，﹣2）或（2，﹣2）；

當Q的坐標是10時，在y=2x²﹣4x﹣2中令y=﹣2，則2x2﹣4x﹣2=10，

解得：x=1+或1﹣，

則Q的坐標是（1+，10）或（1﹣，10）．

總之，Q的坐標是：（0，﹣2）或（2，﹣2）或（1+，10）或（1﹣，10）．

【點評】本題考查了待定系數法求函數的解析式，以及三角形的面積公式，根據三角形的面積公式確定Q的縱坐標是關鍵．