Question

10．已知：∠A+∠C=∠B=60°，AD=CE，求證：BE=CD．

Answer 1

分析 以AE，EC為鄰邊作平行四邊形AECG，連接AC，DG，設(shè)CE與DG交于H，AD與CE交于F，根據(jù)已知條件和平行線的性質(zhì)得到∠4+∠5=AFE=∠FEB-∠1=180°-∠2-∠1=180°-60°-60°=60°，于是得到AD=CE=GA，推出△ADG是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠FHD=∠AGD=60°，證得∠3=∠FHD=60°，求得∠BEC=∠ADC，點(diǎn)AD，C，G四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠2=60°-∠3=60°-∠4=∠5，推出△BCE≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：以AE，EC為鄰邊作平行四邊形AECG，連接AC，DG，設(shè)CE與DG交于H，AD與CE交于F，
∵∠1+∠2=∠B=60°，AG∥EC，
∴∠4+∠5=AFE=∠FEB-∠1=180°-∠2-∠1=180°-60°-60°=60°，
∵AD=CE=GA，
∴△ADG是等邊三角形，∠FHD=∠AGD=60°，
∴∠3=∠FHD=60°，
∵∠ADC+∠AGC=∠ADC+∠AEC=2∠B+∠1+∠2=180°，
∴∠BEC=∠ADC，點(diǎn)A，D，C，G四點(diǎn)共圓，
∴∠2=60°-∠3=60°-∠4=∠5，
在△BCE與△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠ADC}\\{∠2=∠5}\\{CE=AD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ADC，
∴BE=CD．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的判定，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．