Question

16．矩形ABCD中，AD=5，AB=7，點E為DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，點D的對應(yīng)點為點D′，直線D′E交AB邊于點F，如果DE=x，D′F=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及x的取值范圍；
（2）當(dāng)點D的對應(yīng)點D′落在∠ABC的角平分線上時，求此時DE的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過F作FG⊥CD于G，得到四邊形BFGC是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到FG=BC=AD=5，∠FGE=∠CGF=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AD′AD=5，∠AD′E=ADE=90°，推出△AD′F≌△EFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=EF=x+y，GE=D′F=y，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）連接BD′，過D′作MN⊥AB，交AB于點M，CD于點N，作D′P⊥BC交BC于點P，先利用勾股定理求出MD′，再分兩種情況利用勾股定理求出DE．

解答 解：（1）如圖1，過F作FG⊥CD于G，
∴四邊形BFGC是矩形，
∴FG=BC=AD=5，∠FGE=∠CGF=90°，
∵把△ADE沿AE折疊得到△AED′，
∴AD′AD=5，∠AD′E=ADE=90°，
∴∠AD′F=90°，
在△AD′F與△EFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFD′=∠FEG}\\{∠AD′F=∠EGF}\\{AD′=FG}\end{array}\right.$，
∴△AD′F≌△EFG，
∴AF=EF=x+y，GE=D′F=y，
∵GE²+FG²=EF²，
即y²+5²=（x+y）²，
∴y=$\frac{25-{x}^{2}}{2x}$，（0＜x＜7-2$\sqrt{6}$）；

（2）如圖2，連接BD′，過D′作MN⊥AB，交AB于點M，CD于點N，作D′P⊥BC交BC于點P
∵點D的對應(yīng)點D′落在∠ABC的角平分線上，
∴MD′=PD′，
設(shè)MD′=x，則PD′=BM=x，
∴AM=AB-BM=7-x，
又折疊圖形可得AD=AD′=5，
∴x²+（7-x）²=25，解得x=3或4，
即MD′=3或4．
在Rt△END′中，設(shè)ED′=a，
①當(dāng)MD′=3時，AM=7-3=4，D′N=5-3=2，EN=4-a，
∴a²=2²+（4-a）²，
解得a=$\frac{5}{2}$，即DE=$\frac{5}{2}$，
②當(dāng)MD′=4時，AM=7-4=3，D′N=5-4=1，EN=3-a，
∴a²=1²+（3-a）²，
解得a=$\frac{5}{3}$，即DE=$\frac{5}{3}$．
綜上所述：DE=$\frac{5}{2}$或$\frac{5}{3}$．

點評 本題主要考查了折疊問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確掌握折疊以后有哪些線段是對應(yīng)相等的．