Question

3．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于A（-2，0），B（4，0），與y軸相交于點C，且拋物線經過點（2，2）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點H，使AH+CH最小，并求出點H的坐標；
（3）在第四象限內，拋物線上是否存在點M，是的以點A、B、M為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-2，0），B（4，0），（2，2）代入拋物線解析式列方程組解決問題．
（2）如圖1，連接BC交對稱軸于點H，由對稱軸的性質和兩點之間線段最短的性質可得：此時AH+CH=BH+CH=BC最小，利用待定系數法求出直線BC解析式，與拋物線對稱軸聯立求出H坐標即可；
（3）在第四象限內，拋物線上存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似，分兩種情況考慮：（i）當△ACB∽△ABM時；（ii）當△ACB∽△MBA時，利用相似三角形的判定與性質，確定出m的值即可．

解答 解：（1）A（-2，0），B（4，0），（2，2）代入拋物線解析式
得$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{4a+2b+c=2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2．
（2）如圖1，連接BC交對稱軸于點H，

由對稱軸的性質和兩點之間線段最短的性質可得：此時AH+CH=BH+CH=BC最小，
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B與C坐標代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
令x=1，得到y(tǒng)=$\frac{3}{2}$，即H（1，$\frac{3}{2}$）；

（3）不存在．
分兩種情況考慮：
（i）不妨設△ACB∽△ABM時，如圖2中，

則有∠CAB=∠MAB=45°，
∴直線AM為y=-x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-2}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=-10}\end{array}\right.$，
∴點M坐標（8，-10），
此時AM=10$\sqrt{2}$，
∵$\frac{AB}{AM}$=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$，$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{2}}{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴$\frac{AB}{AM}$≠$\frac{AC}{AB}$，
∴△ABC與△AMB不相似．

（ii）不妨設△ACB∽△MBA時，如圖3中，

則∠ABC=∠MAB，
∴BC∥AM，
∵直線BC解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴直線AM解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-1}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴AM=4$\sqrt{5}$，
∵$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{6}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\frac{AB}{AM}$=$\frac{6}{4\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$，
∴$\frac{BC}{AB}$≠$\frac{AB}{AM}$，
△ACB與△MBA不相似．
綜上所述，在第四象限內，拋物線上不存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似．

點評 此題屬于二次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法確定函數解析式，坐標與圖形性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，以及兩點之間線段最短，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．