Question

如圖，點O是△ABC所在平面內(nèi)一動點，連接OB、OC，并把AB、OB、OC、CA的中點D、E、F、G順次連接起來，若四邊形DEFG為正方形，則點O所在的位置滿足的條件是

 

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Answer 1

考點：三角形中位線定理,正方形的判定

專題：

分析：先由DG、EF分別是△ABC和△BOC的中位線，那么DG、EF都平行且相等于

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BC，即DG與EF平行且相等，證得四邊形DEFG是平行四邊形，若四邊形DEFG為正方形，則DG和DE互相垂直且相等；因此OA⊥BC且OA=BC，由此可判斷出O點所處的位置．

解答：解：OA=BC且OA⊥BC．理由如下：
∵D、G分別是AB、AC的中點，
∴DG是△ABC的中位線；
∴DG∥BC，且DG=

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BC；
同理可證：EF∥BC，且EF=

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BC；
∴DG∥EF，且DG=EF；
∴四邊形DEFG是平行四邊形；
連接OA．
∵把AB、OB、OC、AC的中點D、E、F、G依次連接形成四邊形DEFG．
∴DE∥OA∥GF，EF∥BC，
∵O點在BC邊的高上，
∴AO⊥BC，
∴AO⊥EF，
∵DE∥OA，
∴DE⊥EF，
∴四邊形DEFG是矩形．
∵OA=BC，DE=

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AO，DG=

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BC，
∴DE=DG，
∴矩形DEFG是正方形．
故答案為OA=BC且OA⊥BC．

點評：此題主要考查了中點四邊形的判定以及三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形以及正方形的判定等知識，熟練掌握相關的定理是解題關鍵．