Question

小方與同學一起去郊游，看到一棵大樹斜靠在一小土坡上，他想知道樹有多長，于是他借來測角儀和卷尺．如圖，他在點C處測得樹AB頂端A的仰角為30°，沿著CB方向向大樹行進10米到達點D，測得樹AB頂端A的仰角為45°，又測得樹AB傾斜角∠1=75°．
（1）求AD的長．
（2）求樹長AB．

Answer 1

考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題

專題：幾何圖形問題

分析：（1）過點A作AE⊥CB于點E，設AE=x，分別表示出CE、DE，再由CD=10，可得方程，解出x的值，在Rt△ADE中可求出AD；
（2）過點B作BF⊥AC于點F，設BF=y，分別表示出CF、AF，解出y的值后，在Rt△ABF中可求出AB的長度．

解答：解：（1）過點A作AE⊥CB于點E，設AE=x，
在Rt△ACE中，∠C=30°，
∴CE=

3

x，
在Rt△ADE中，∠ADE=45°，
∴DE=AE=x，
∴CE-DE=10，即

3

x-x=10，
解得：x=5（

3

+1），
∴AD=

2

x=5

6

+5

2

答：AD的長為（5

6

+5

2

）米．

（2）由（1）可得AC=2AE=（10

3

+10）米，
過點B作BF⊥AC于點F，
∵∠1=75°，∠C=30°，
∴∠CAB=45°，
設BF=y，
在Rt△CBF中，CF=

3

BF=

3

y，
在Rt△BFA中，AF=BF=y，
∴

3

y+y=（10

3

+10），
解得：y=10，
在Rt△ABF中，AB=

AF2+BF2

=10

2

米．
答：樹高AB的長度為10

2

米．

點評：本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)及已知線段表示未知線段，有一定難度．