Question

17．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（-3，0），B（1，0），C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為拋物線上一個動點，記△PAC的面積為S．
①當(dāng)點P與拋物線頂點D重合時，求△PAC的面積S；
②若點P位于第二象限，試求△PAC面積S的最大值及此時點P的坐標(biāo)；
（3）在y軸上是否存在點M，使得△ADM是等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得PN的長，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠MAO=∠DMN，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）將A、B、C點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3；
（2）①如圖1，
y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，即D點坐標(biāo)為（-1，4），
AC的解析式為y=x+3，當(dāng)x=-1時，y=2，即N點坐標(biāo)為（-1，2），
ND=4-2=2．
S_△ADC=$\frac{1}{2}$ND•OA=$\frac{1}{2}$×2×3=3；   
②如圖2，
由上題可知直線AC的解析式是：y=x+3
設(shè)P點的坐標(biāo)為（x，-x²-2x+3），則點N的坐標(biāo)為（x，x+3）
∴PN=PE-NE=（-x²-2x+3）-（x+3）=-x²-3x
∵S_△APC=S_△ANP+S_△CNP
∴S=$\frac{1}{2}$PN•OA=$\frac{1}{2}$×3（-x²-3x）=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$ 
∴當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時，S有最大值$\frac{27}{8}$，此時點P的坐標(biāo)（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
（3）如圖3，
由△ADM是等腰直角三角形，得
AM=DM，∠AMD=90°，
由∠MAO+∠AMO=90°，∠AMO+∠DMN=90°，
∴∠MAO=∠DMN．
在△MAO和△DMN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MAO=∠DMN}\\{∠AOM=∠MND}\\{AM=DM}\end{array}\right.$，
∴△MAO≌△DMN（AAS），
∴OM=DN=1，
∴M（0，1）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用面積的和差得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵；利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出OM=DN是解題關(guān)鍵．