Question

先觀察下列等式，然后用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題．

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

-

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

…
（1）計(jì)算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

=

 

．
（2）探究：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

 

（用含有n的式子表示）．
（3）若

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

15

31

，求n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：分式的加減法,解分式方程

專題：規(guī)律型

分析：（1）觀察一系列等式，得出拆項(xiàng)規(guī)律，原式利用拆項(xiàng)方法計(jì)算即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)得出的規(guī)律，計(jì)算即可得到結(jié)果；
（3）已知等式左邊利用拆項(xiàng)法則計(jì)算，即可求出n的值．

解答：解：（1）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

=1-

1

6

=

5

6

；

（2）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；

（3）已知等式變形得：

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

1

2

×

2n

2n+1

=

15

31

，
去分母得：31n=30n+15，
解得：n=15．
故答案為：（1）

5

6

；（2）

n

n+1

．

點(diǎn)評：此題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．