Question

19．如圖，AB為⊙O的直徑，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求證：AT平分∠BAC；
（2）若AO=2，AT=2$\sqrt{3}$，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OT，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OT⊥PQ，加上AC⊥PQ，則可判斷OT∥AC，所以∠TAC=∠OTA，而∠OTA=∠OAT，所以∠TAC=∠OAT；
（2）連接BT，如圖，證明Rt△ABT∽R(shí)t△ATC，然后利用相似比克計(jì)算出AC的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接OT，如圖，
∵PQ切⊙O于T，
∴OT⊥PQ，
∵AC⊥PQ，
∴OT∥AC，
∴∠TAC=∠OTA，
而OT=OA，
∴∠OTA=∠OAT，
∴∠TAC=∠OAT，
∴AT平分∠BAC；
（2）解：連接BT，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ATB=90°，
∵∠TAC=∠BAT，
∴Rt△ABT∽R(shí)t△ATC，
∴$\frac{AT}{AC}$=$\frac{AB}{AT}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{AC}$=$\frac{4}{2\sqrt{3}}$，
∴AC=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．解決（2）小題的關(guān)鍵是構(gòu)建△ABT與△ATC相似．