Question

8．如圖，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F．
（1）請(qǐng)你判斷FE和FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）求證：AE+CD=AC．

Answer 1

分析 （1）先證出∠CAF+∠ACF=60°，得出∠DFE=∠AFC=120°，證出∠ABC+∠DFE=180°，證出B、E、F、D四點(diǎn)共圓，得出$\widehat{FE}=\widehat{FD}$，即可得出FE=FD；
（2）在AC上截取AG=AE，連接GF，先證明△AGF≌△AEF，得出FG=FE，∠AFG=∠AFE=60°，再證明△CFG≌△CFD，得出CG=CD，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：FE=FD；理由如下：連接BF，如圖所示：
∵∠ABC=60°，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴∠BAC+∠BCA=120°，
∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，
∴∠CAF=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠ACF=$\frac{1}{2}$∠BCA，BF平分∠ABC，
∴∠CAF+∠ACF=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA）=60°，∠ABF=∠CBF，
∴∠DFE=∠AFC=120°，∠DFC=∠AFE=60°，
∴∠ABC+∠DFE=180°，
∴B、E、F、D四點(diǎn)共圓，
∴$\widehat{FE}=\widehat{FD}$，
∴FE=FD；
（2）證明：在AC上截取AG=AE，連接GF，如圖所示：
在△AGF和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}&{\;}\\{∠GAF=∠EAF}&{\;}\\{AF=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴FG=FE，∠AFG=∠AFE=60°，
∴FG=FD，∠GFC=120°-60°=60°，
在△CFG和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{FG=∠FD}&{\;}\\{∠GFC=∠DFC=60°}&{\;}\\{FC=FC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴CG=CD，
∴AE+CD=AG+CG=AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理、圓周角定理；本題有一定難度，需要通過作輔助線證明四點(diǎn)共圓和三角形全等才能得出結(jié)論．