Question

1．如圖，在⊙O中，弦AC，BD相交于點(diǎn)M，且∠A=∠B．
（1）求證：AC=BD；
（2）若OA=2，∠A=30°，當(dāng)AC⊥BD時(shí)，求弧$\widehat{CD}$的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)E，連接DE，根據(jù)圓周角定理得出∠EDB=∠FCA=90°，故可得出△DEB≌△CFA，由此得出結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)E，連接DE，CD，OD，OC，求出∠COA的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)得出∠EOA的度數(shù)，由弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)E，連接DE，
∵BE，AF是⊙O的直徑，
∴∠EDB=∠FCA=90°．
在△DEB與△CFA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EDB=∠FCA}\\{∠B=∠A}\\{EB=FA}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△CFA（AAS），
∴AC=BD；

（2）延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)E，連接DE，CD，OD，OC，
∵∠A=30°，OA=OC，
∴∠COA=180°-30°-30°=120°．
∵∠A=∠B=30°，AC⊥BD，
∴∠EOA+∠A=60°，
∴∠EOA=30°，
∴∠DOE=60°，
∴∠COD=30°，
∴${l}_{\widehat{CD}}$=$\frac{30πr}{180}$=$\frac{1}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．