Question

5．如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC=∠BDC=90°，BC=8，AB=AC，∠CBD=30°，BD=4$\sqrt{3}$，M，N分別在BD，CD上，∠MAN=45°，則△DMN的周長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$+4．

Answer 1

分析 將△ACN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，由旋轉(zhuǎn)得出∠NAE=90°，AN=AE，∠ABE=∠ACD，∠EAB=∠CAN，求出∠EAM=∠MAN，根據(jù)SAS推出△AEM≌△ANM，根據(jù)全等得出MN=ME，求出MN=CN+BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周長(zhǎng)=BD+DC，代入求出即可．

解答 解：將△ACN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，如圖：

由旋轉(zhuǎn)得：∠NAE=90°，AN=AE，∠ABE=∠ACD，∠EAB=∠CAN，
∵∠BAC=∠D=90°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-90°-90°=180°，
∴∠ABD+∠ABE=180°，
∴E，B，M三點(diǎn)共線，
∵∠MAN=45°，∠BAC=90°，
∴∠EAM=∠EAB+∠BAM=∠CAN+∠BAM=∠BAC-∠MAN=90°-45°=45°，
∴∠EAM=∠MAN，
在△AEM和△ANM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AN}\\{∠EAM=∠NAM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴MN=ME，
∴MN=CN+BM，
∵在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠CBD=30°，BD=4$\sqrt{3}$，CD=BD×tan∠CBD=4，
∴△DMN的周長(zhǎng)為DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=4$\sqrt{3}$+4，
故答案為：4$\sqrt{3}$+4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．