Question

1．已知：如圖，直線y=-$\frac{1}{2}$x-3與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A，C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C的拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于點(diǎn)B（2，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D是拋物線在第三象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D，使得△DAC的面積最大？若存在，請(qǐng)求這個(gè)最大值并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，交AC于F，若AC恰好將△ADE的面積分成1：4兩部分，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先得出A點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）首先表示出DF的長(zhǎng)，再利用S_△ADC=S_△ADF+S_△DFC，進(jìn)而得出面積與點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)解析式，即可求最值得出答案；
（3）分別利用①當(dāng)DF：EF=1：4時(shí)，（-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m）：（$\frac{1}{2}$m+3）=1：4，②當(dāng)DF：EF=4：1時(shí)，分別得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）在y=-$\frac{1}{2}$x-3中，當(dāng)y=0時(shí)，x=-6，
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（-6，0），
將A（-6，0），B（2，0）代入y=ax²+bx-3得：
$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b-3=0}\\{4a+2b-3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{4}$x²+x-3；

（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（m，$\frac{1}{4}$m²+m-3），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（m，-$\frac{1}{2}$m-3），
∴DF=-$\frac{1}{2}$m-3-（$\frac{1}{4}$m²+m-3）=-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m，
∴S_△ADC=S_△ADF+S_△DFC
=$\frac{1}{2}$DF•AE+$\frac{1}{2}$•DF•OE
=$\frac{1}{2}$DF•OA
=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m）×6
=-$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{2}$m
=-$\frac{3}{4}$（m-3）²+$\frac{27}{4}$，
∵a=-$\frac{3}{4}$＜0，
∴拋物線開(kāi)口向下，
∴當(dāng)m=3時(shí)，S_△ADC存在最大值$\frac{27}{4}$，
又∵當(dāng)m=3時(shí)，$\frac{1}{4}$m²+m-3=-$\frac{15}{4}$，
∴存在點(diǎn)D（3，-$\frac{15}{4}$），使得△ADC的面積最大，最大值為$\frac{27}{4}$；

（3）由題意可得△ADE的面積分成1：4兩部分即是點(diǎn)F將DE分成1：4兩部分
①當(dāng)DF：EF=1：4時(shí)，（-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m）：（$\frac{1}{2}$m+3）=1：4，
解得：m₁=-$\frac{1}{2}$，m₂=-6（不合題意，舍去），
當(dāng)m=-$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1}{4}$m²+m-3=-$\frac{55}{16}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{55}{16}$），
②當(dāng)DF：EF=4：1時(shí)，（-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m）：（$\frac{1}{2}$m+3）=4：1，
解得：m₁=-6（不合題意，舍去），m₂=-8（不合題意，舍去），
綜上所述存在點(diǎn)D（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{55}{16}$），使得AC恰好將△ADE的面積分成1：4兩部分．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及三角形面積求法等知識(shí)，正確表示出線段DF的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．