Question

10．如圖，一面墻上有一個矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個圓弧形的門洞，圓弧所在的圓外接矩形，已知矩形的高AC=2米，寬CD=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$米．
（1）求此圓形門洞的半徑；
（2）求要打掉墻體的面積．

Answer 1

分析 （1）先證得BC是直徑，在直角三角形BCD中，由BD與CD的長，利用勾股定理求出BC的長，即可求得半徑；
（2）打掉墻體的面積=2（S_扇形OAC-S_△AOC）+S_扇形OAB-S_△AOB，根據(jù)扇形的面積和三角形的面積求出即可．

解答 解：（1）連結(jié)AD、BC，
∵∠BDC=90°，
∴BC是直徑，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
∴圓形門洞的半徑為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．  
（2）取圓心O，連結(jié)OA．由上題可知，OA=OB=AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴△AOB是正三角形，
∴∠AOB=60°，∠AOC=120°，
∴S_△AOB=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，S_△AOC=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
∴S=2（S_扇形OAC-S_△AOC）+S_扇形OAB-S_△AOB
=2（$\frac{120π×（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）+（$\frac{60π×（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
=$\frac{10}{9}$π-$\sqrt{3}$
∴打掉墻體面積為$\frac{10}{9}$π-$\sqrt{3}$平方米．

點評 本題考查了圓周角定理和垂徑定理，扇形和三角形的面積，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是理解陰影部分的面積是由哪幾部分圖形組成的，然后利用公式求值．