Question

如圖①，雙曲線y=

k

x

（k≠0）和拋物線y=ax²+bx（a≠0）交于A、B、C三點，其中B（3，1），C（-1，-3），直線CO交雙曲線于另一點D，拋物線與x軸交于另一點E．
（1）求雙曲線和拋物線的解析式；
（2）拋物線在第一象限部分是否存在點P，使得∠POE+∠BCD=90°？若存在，請求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖②，過B作直線l⊥OB，過點D作DF⊥l于點F，BD與OF交于點N，求

DN

NB

的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）用待定系數(shù)法即可求得．
（2）過O作OM⊥BC，則OM=

2

，因為OB=

10

，根據(jù)勾股定理求得MB=2

2

，進而求得tan∠COM=

BM

OM

=

2 2

2

=2，所以tan∠POE=2，從而求得P點的坐標．
（3）根據(jù)勾股定理求得DF、OB的長，根據(jù)DF∥OB得出

DN

NB

=

DF

OB

即可求得．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）過B（3，1），C（-1，-3），
∴

1=9a+3b -3=a-b

，
解得：

a=- 2 3 b= 7 3

，
∴拋物線的解析式為：y=-

2

3

x²+

7

3

x，
把B（3，1）代入y=

k

x

（k≠0）得：1=

k

3

，
解得：k=3，
∴雙曲線的解析式為：y=

3

x

．

（2）存在點P，使得∠POE+∠BCD=90°；
∵B（3，1），C（-1，-3），設直線BC為y=kx+n，
∴

1=3k+n -3=-k+n

，
解得k=1，n=-2，
∴直線BC為：y=x-2，
∴直線BC與坐標軸的交點（2，0），（0，-2），
過O作OM⊥BC，則OM=

2

，
∵B（3，1），C（-1，-3），
∴OB=OC=

10

，
∴BM=

OB2-OM2

=

10-2

=2

2

，
∴tan∠COM=

BM

OM

=

2 2

2

=2，
∵∠COM+∠BCD=90°，∠POE+∠BCD=90°，
∴∠POE=∠COM，
∴tan∠POE=2，
∵P點是拋物線上的點，設P（m，-

2

3

m²+

7

3

m），
∴

- 2 3 m2+ 7 3 m

m

=2，
解得：m=

1

2

，
∴P（

1

2

，1）．
綜上所述，存在點P（

1

2

，1），使得∠POE+∠BCD=90°．

（3）∵直線CO過C（-1，-3），
∴直線CO的解析式為y=3x，
解

y=3x y= 3 x

，
解得

x=1 y=3

，
∴D（1，3），
∵B（3，1），
∴直線OB的斜率=

1

3

，
∵直線l⊥OB，過點D作DF⊥l于點F，
∴DF∥OB，
∴直線l的斜率=-3，直線DF的斜率=

1

3

，
∵直線l過B（3，1），直線DF過D（1，3），
∴直線l的解析式為y=-3x+10，直線DF解析式為y=

1

3

x+

8

3

，
解

y=-3x+10 y= 1 3 x+ 8 3

，
解得

x= 11 5 y= 17 5

，
∴F（

11

5

，

17

5

），
∴DF=

( 11 5  -1)2+(  17 5 -3)2

=

2

5

10

，
∵DF∥OB，OB=

10

，
∴△DNF∽△BNO，
∴

DN

NB

=

DF

OB

=

2 5 10

10

=

2

5

．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，勾股定理的運用，平行線的斜率的特點，以及圖象的交點等．