Question

14．如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，連接AD₁、BC₁．若∠ACB=30°，AB=1，CC₁=x，△ACD與△A₁C₁D₁重疊部分面積為S，則下列結論：
①△A₁AD₁≌△CC₁B；
②當x=1時，四邊形ABC₁D₁是菱形；
③當x=2時，△BDD₁為等邊三角形；
④S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-2）²（0≤x≤2）．
其中正確的是①②③（將所有正確答案的序號都填寫在橫線上）

Answer 1

分析 ①根據矩形的性質，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性質，可得出∠A₁=∠ACB，A₁D₁=CB，從而證出結論；
②根據菱形的性質，四條邊都相等，可推得當C₁在AC中點時四邊形ABC₁D₁是菱形．
③當x=2時，點C₁與點A重合，可求得BD=DD₁=BD₁=2，從而可判斷△BDD₁為等邊三角形．
④易得△AC₁F∽△ACD，根據面積比等于相似比平方可得出s與x的函數關系式．

解答 解：①∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC=AD，BC∥AD
∴∠DAC=∠ACB
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，
∴∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁，
在△A₁AD₁與△CC₁B中，
$\left\{\begin{array}{l}{A{A}_{1}=C{C}_{1}}\\{∠{A}_{1}=∠ACB}\\{{A}_{1}{D}_{1}=CB}\end{array}\right.$
故①正確；
②∵∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AB=1，
∴AC=2，
∵x=1，
∴AC₁=1，
∴△AC₁B是等邊三角形，
∴AB=D₁C₁，
又AB∥D₁C₁，
∴四邊形ABC₁D₁是菱形，
故②正確；
③如圖所示：

則可得BD=DD₁=BD₁=2，
∴△BDD₁為等邊三角形，故③正確．
④易得△AC₁F∽△ACD，
∴$\frac{{S}_{△A{C}_{1}F}}{{S}_{△ACD}}=（\frac{2-x}{2}）^{2}$，
解得：${S}_{△A{C}_{1}F}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}（x-2）^{2}$（0＜x＜2）；故④錯誤；
綜上可得正確的是①②③．
故答案為：①②③．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、等邊三角形的判定及解直角三角形的知識，解答本題需要我們熟練掌握全等三角形的判定及含30°角的直角三角形的性質，有一定難度．