Question

如圖，在△ABC中，AB＞AC，AD是內(nèi)角平分線，AM是BC邊上的中線，求證：點(diǎn)M不與點(diǎn)D重合．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：直接證明比較困難，可采用反證法進(jìn)行求解．先假設(shè)M在線段CD上，延長(zhǎng)AM到N，使AM=MN，通過(guò)構(gòu)建的全等三角形△AMC和△NMB，可得出∠MAC=∠N，AC=BN；然后通過(guò)M點(diǎn)的位置，求出∠N和∠BAM的大小關(guān)系，進(jìn)而求出AB＜AC的結(jié)論，則假設(shè)與已知不符，故得出原結(jié)論正確．

解答：解：假設(shè)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合．
延長(zhǎng)AM到N，使AM=MN，連接BN；
在△AMC和△NMB中，

BM=CM ∠AMC=∠NMB AM=MN

，
∴△AMC≌△NMB（SAS）；
∴∠MAC=∠MNB，BN=AC；
根據(jù)M在線段CD上，則∠BAM＞∠MAC，
∴∠MNB＜∠BAM，
∴BN＞AB，
即AC＞AB；與AB＞AC相矛盾．
因而M與點(diǎn)D重合是錯(cuò)誤的．
所以點(diǎn)M與點(diǎn)D不重合．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合全等三角形的判定和性質(zhì)、角的比較等知識(shí)考查了反證法的實(shí)際應(yīng)用，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．