Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，△ABP≌△CBP′，∠PBP′=90°，若PA²+PC²=2PB²．證明：P在對(duì)角線AC上．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接PP′，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，PA=P′C，PB=P′B，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAP=∠BCP′，然后判斷出△PBP′是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得PP′=

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PB，然后根據(jù)勾股定理逆定理判斷出△PP′C是直角三角形，∠PCP′=90°，根據(jù)同角的余角相等求出∠BCP′=∠PCD，從而得到∠BAP=∠PCD，然后利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得點(diǎn)A、P、C三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在對(duì)角線AC上．

解答：證明：如圖，連接PP′，
∵△ABP≌△CBP′，
∴PA=P′C，PB=P′B，∠BAP=∠BCP′，
∵∠PBP′=90°，
∴△PBP′是等腰直角三角形，
∴PP′=

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PB，
∵PA²+PC²=2PB²=PP′²，
∴△PP′C是直角三角形，∠PCP′=90°，
又∵∠PCD+∠PCB=∠BCP′+∠PCB=90°，
∴∠BCP′=∠PCD，
∴∠BAP=∠PCD，
又∵AB∥CD，
∴點(diǎn)A、P、C三點(diǎn)共線，
∴P在對(duì)角線AC上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理逆定理，作輔助線構(gòu)造成直角三角形并最后求出∠BAP=∠PCD是解題的關(guān)鍵．