Question

【題目】如圖，等邊三角形中，是邊的中點(diǎn)，是射線上一點(diǎn)，以為邊作，使得，且，若，則的最小值為_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

如下圖，利用∠FEB=90°，可推導(dǎo)出△BED∽△EFG，設(shè)DE=x，根據(jù)和等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，可得BD=1，GE=2，FG=2x，從而可用x表示出GA的長(zhǎng)，在Rt△FGA中，利用勾股定理可求得用x表示的FA的長(zhǎng)，最后利用二次函數(shù)性質(zhì)，求得最小值

圖下圖，過點(diǎn)F作AD的垂線，交AD的方向延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．

∵∠BEF=90°

∴∠BED+∠FEG=90°

∵△ABC是正三角形，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，AB=2

∴∠BDA=90°，BD=1，AD=

∴∠EBD+∠BED=90°

∴∠EBD=∠FEG

∵∠BDE=∠FGE=90°

∴△BED∽△EFG

∵，∴

∴

∴EG=2

設(shè)DE=x，則AE=，GA=GE－AE=2+x－，FG=2x

∴在Rt△AFG中，

化簡(jiǎn)得：

要使AF最短，則只需要最小即可，即最小

令y=，則只需要求解二次函數(shù)的最小值即可

拋物線開口向上，頂點(diǎn)處即為最小值

此刻，，

∴結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，

y=

故AF的最小值為：

故答案為：