Question

17．如圖，AB為⊙O的直徑，CF切⊙O于點(diǎn)C，BF⊥CF于點(diǎn)F，點(diǎn)D在⊙O上，CD交AB于點(diǎn)E，∠BCE=∠BCF．
（1）求證：弧AC=弧AD；
（2）點(diǎn)G在⊙O上，∠GCD=∠FCD，連接DO并延長交CG于點(diǎn)H，求證：CH=GH；
（3）在（2）的條件下，連接AG，AG=3，CF=2$\sqrt{13}$，求CG的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接半徑，根據(jù)切線的性質(zhì)得出垂直，與已知BF⊥FC，得BF∥OC，所以∠BEC=∠BFC=90°，由垂徑定理得：弧AC=弧AD；
（2）如圖2，根據(jù)同圓半徑相等得∠OCD=∠D，由切線的性質(zhì)得∠FCD+∠OCD=90°，根據(jù)等量代換得：
∠DCG+∠D=90°，所以∠DHC=90°，由垂徑定理得CH=HG；
（3）如圖3中，延長GA到M，使得AD=AM，連接DM，延長CG到N，使得GN=GD，連接AN，作DJ⊥AM于J．首先證明△CAD≌△MAD，得AM=AC，DM=CD=DG，同理可得GN=DG，AN=AD=AC，再證明DM²-DA²=（DJ²+JM²）-（DJ²+AJ²）=（JM+AJ）（JM-AJ）=AM•AG，求出AD，同理可得AN²-AG²=GN•CG，延長即可解決問題．

解答 證明：（1）如圖1，連接OC，

∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∵FC是⊙O的切線，
∴OC⊥FC，
∵BF⊥FC，
∴BF∥OC，∠BFC=90°，
∴∠OCB=∠FBC，
∴∠OBC=∠FBC，
∵∠BCE=∠BCF，
∴△FBC∽△EBC，
∴∠BEC=∠BFC=90°，
∴OB⊥DC，
∴弧AC=弧AD；

（2）如圖2，連接OC．

∵OC=OD，
∴∠OCD=∠D，
∵FC是⊙O的切線，
∴∠FCD+∠OCD=90°，
∵∠FCD=∠DCG，
∴∠DCG+∠D=90°，
∴∠DHC=90°，
∴DH⊥CG，
∵DH經(jīng)過圓心O，
∴CH=HG．

（3）如圖3中，延長GA到M，使得AD=AM，連接DM，延長CG到N，使得GN=GD，連接AN，作DJ⊥AM于J．

∵CE=CF=2$\sqrt{13}$，
∴CD=2$\sqrt{13}$，
∵DC=DG，AC=AD，
∵∠DAM=∠DCG=∠CAD，
∴△CAD≌△MAD，
∴AM=AC，DM=CD=DG，
同理可證GN=DG，AN=AD=AC，
∵DM²-DA²=（DJ²+JM²）-（DJ²+AJ²）=（JM+AJ）（JM-AJ）=AM•AG，
∴（4$\sqrt{13}$）²-AD²=AD•3，
j解得AD=13，
同理在等腰三角形△NAC中可得AN²-AG²=GN•CG，
∴169-9=4$\sqrt{13}$•CG，
∴CG=$\frac{40\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評 本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，記住一些基本圖形、基本結(jié)論，屬于中考壓軸題．