Question

19．如圖所示，點(diǎn)O是∠EPF平分線上的一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心的圓與角的兩邊分別交于點(diǎn)A、B和C、D．
（1）求證：AB=CD；
（2）若角的頂點(diǎn)P在圓上或在圓內(nèi)，（1）的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若成立，請(qǐng)加以證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1，作輔助線；由角平分線的性質(zhì)得到OM=ON；由垂徑定理得到AB=CD，即可解決問(wèn)題．
（2）如圖3，作輔助線；類似（1）中的證明方法，由角平分線的性質(zhì)得到OM=ON；由垂徑定理得到AB=CD，即可解決問(wèn)題

解答 解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB，
ON⊥CD；
∵PO平分∠EPF，
∴OM=ON，
∴AB=CD（垂徑定理的推論）．
（2）如圖2或圖3，點(diǎn)P分別在⊙O上或⊙O內(nèi)，（1）中的結(jié)論仍然成立；僅以圖3為例證明如下：
如圖3，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB、ON⊥CD；
∵PO平分∠EPF，
∴OM=ON，
∴AB=CD（垂徑定理的推論）．

點(diǎn)評(píng) 該題主要考查了垂徑定理、角平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；應(yīng)牢固掌握垂徑定理、角平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)，這是靈活運(yùn)用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．