Question

12．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx-4（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），且當(dāng)x=-1和x=3時(shí)，二次函數(shù)的值y相等，直線AD交拋物線于點(diǎn)D（2，m）．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)P和點(diǎn)A，B不重合），過點(diǎn)P作PE∥AD，交BD于E，連接DP，當(dāng)△DPE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若直線AD 與y軸交于點(diǎn)G，點(diǎn)M是拋物線對稱軸l上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形CMNG的周長最小時(shí)，求出周長的最小值和點(diǎn)M，點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)當(dāng)x=-1和x=3時(shí)，二次函數(shù)的值y相等，求出對稱軸，由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），將A（-2，0），B（4，0）分別代入解析式y(tǒng)=ax²+bx-4即可；
（2）如圖1，作EF⊥x軸于F，求出AD解析式，可得到PE解析式為y=-x+g，設(shè)E（t，2t-8），將E（t，2t-8）代入y=-x+g得2t-8=-t+g，即g=3t-8，PE解析式為y=-x+3t-8，求出P點(diǎn)坐標(biāo)為（3t-8，0），列出S_△DPE=[4-（3t-8）][4-8+2t]=-6t²+36t-48即可求解；
（3）二次函數(shù)對稱軸為x=1，則C（0，-4）關(guān)于x=1的對稱點(diǎn)為C′（2，-4），G（0，-2）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為G′（0，2）．連接C′G′，與l交點(diǎn)即為M，與x軸交點(diǎn)即為N．此時(shí)四邊形CMNG的周長最小值=C′G′．求出C′G′解析式即可解答．

解答 解：（1）當(dāng)x=-1和x=3時(shí)，二次函數(shù)的值y相等可知對稱軸為x=$\frac{-1+3}{2}$=1，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
將A（-2，0），B（4，0）分別代入解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}4a-2b-4=0\\ 16a+4b-4=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=-1\end{array}\right.$．
二次函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x-4．
（2）如圖1，作EF⊥x軸于F，將點(diǎn)D（2，m）代入y=$\frac{1}{2}$x²-x-4得，m=-4，
則D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-4），
設(shè)AD解析式為y=kx+b，
把A（-2，0），D（2，-4）分別代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}-2k+b=0\\ 2k+b=-4\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ k=-1\end{array}\right.$，
函數(shù)AD解析式為y=-x-2．
∵PE∥AD，
∴PE解析式為y=-x+g．
設(shè)BD解析式為y=mx+n，
把B（4，0），D（2，-4）分別代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}4m+n=0\\ 2m+n=-4\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}m=2\\ n=-8\end{array}\right.$，
函數(shù)BD解析式為y=2x-8．
則可設(shè)E（t，2t-8），將E（t，2t-8）代入y=-x+g得2t-8=-t+g，即g=3t-8，
PE解析式為y=-x+3t-8，
當(dāng)y=0時(shí)，x=3t-8，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（3t-8，0），
S_△DPE=[4-（3t-8）][4-8+2t]=-6t²+36t-48，
當(dāng)t=-$\frac{36}{2×（-6）}$=3時(shí)，S_△DPE的面積最大，
此時(shí)，3t-8=3×3-8=1，
得P（1，0）．
（3）如圖2，二次函數(shù)對稱軸為x=1，則C（0，-4）關(guān)于x=1的對稱點(diǎn)為C′（2，-4），G（0，-2）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為G′（0，2）．
連接C′G′，與l交點(diǎn)即為M，與x軸交點(diǎn)即為N．
此時(shí)四邊形CMNG的周長最小值=C′G′．
設(shè)C′G′的解析式為y=zx+s，
將C′（2，-4），G′（0，2）分別代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}2z+s=-4\\ s=2\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}z=-3\\ s=2\end{array}\right.$，
C′G′的解析式為y=-3x+2，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-1，M（1，-1），
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{2}{3}$，N（$\frac{2}{3}$，0）．
四邊形CMNG的周長最小值=C′G′+CG=$\sqrt{（0-2）^{2}+（2+4）^{2}}$+2=2$\sqrt{10}$+2．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)求最值、軸對稱最短路徑問題，難度較大，值得關(guān)注．