Question

4．如圖，A（-2，m）、B是雙曲線y=-$\frac{8}{x}$上兩點(diǎn)，直線AB：y=kx+b（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，5），與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求直線AB的解析式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）寫出當(dāng)x取何值時(shí)，關(guān)于x的不等式kx+b＜-$\frac{8}{x}$成立？
（3）求S_△AOB．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A在雙曲線上，求出m的值，用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，運(yùn)用方程組求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)圖象求出不等式kx+b＜-$\frac{8}{x}$的解集；
（3）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，得到OD的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式求出S_△AOB．

解答 解：（1）∵A（-2，m）在雙曲線y=-$\frac{8}{x}$上，
∴m=-$\frac{8}{-2}$=4，
∴A（-2，4），
由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=4}\\{b=5}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+5，
由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{8}{x}}\\{y=\frac{1}{2}x+5}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-8}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（-8，1）；
（2）由圖象可知，當(dāng)x＜-8或-2＜x＜0時(shí)，不等式kx+b＜-$\frac{8}{x}$成立；
（3）y=$\frac{1}{2}$x+5與x軸的交點(diǎn)為（-10，0），
∴OD=10，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×10×5-$\frac{1}{2}$×10×1-$\frac{1}{2}$×5×2=15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和運(yùn)用方程組求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．