Question

如圖，拋物線y=

2

5

x²-

8

5

x-2與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且拋物線的頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．
（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
（2）若M為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且在第四象限，順次連接點(diǎn)A，C，M，B，求四邊形ACMB面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：

分析：（1）令y=0，則

2

5

x²-

8

5

x-2=0，解方程即可求得A、B的坐標(biāo)，令x=0，則y=-2，從而求得C的坐標(biāo)；
（2）首先求出四邊形BMCA面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值．

解答：解：（1）令y=0，則

2

5

x²-

8

5

x-2=0，解得x₁=-1，x₂=5，
∴A的坐標(biāo)為（-1，0），B的坐標(biāo)為（5，0），
令x=0，則y=-2，
∴C的坐標(biāo)為（0，-2）．
（2）設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，n）（m＞0，n＜0），
如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，則MF=-n，OF=m，BF=5-m．
S_{四邊形BMCA}=S_△BMF+S_梯形MFOC+S_△AOC
=

1

2

BF•MF+

1

2

（MF+OC）•OF+

1

2

OA•OC
=

1

2

（5-m）×（-n）+

1

2

（-n+2）×m+

1

2

×1×2
=m-

5

2

n+1
∵點(diǎn)M（m，n）在拋物線y=

2

5

x²-

8

5

x-2上，
∴n=

2

5

m²-

8

5

m-2，代入上式得：
S_{四邊形BMCA}=-m²+5m+6=-（m-

5

2

）²+

49

4

∴當(dāng)m=

5

2

時(shí)，四邊形BMCA面積有最大值，最大值為

49

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、圖形面積計(jì)算等重要知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)眾多，有一定的難度．第（2）問(wèn)面積最大值的問(wèn)題，利用二次函數(shù)的最值解決．