Question

20．如圖，正方形和正六邊形的邊長都為1，如圖所示擺放，正六邊形按順時針方向，在正方形邊上旋轉(zhuǎn)一周，假設A旋轉(zhuǎn)一周后到達A′的位置，連接OA，OA′，則OA，OA′，與A所經(jīng)過路線所圍成的封閉圖形面積為$\frac{5π}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，可知A旋轉(zhuǎn)一周后，所形成的封閉圖形的面積為S_扇形ABA1+S_扇形A1CA2，計算出扇形面積，相加即可．

解答 解：如圖，A旋轉(zhuǎn)一周后，所形成的封閉圖形的面積為S_扇形ABA1+S_扇形A1CA2．
∵AB=$\sqrt{3}$OB=$\sqrt{3}$，∠ABA₁=360°-210°=150°，
∴S_扇形ABA1=$\frac{150π（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=$\frac{5π}{4}$；
∵CA₂=1，∠A₂CA₁=360°-210°=150°，
∴S_扇形A1CA2=$\frac{150π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{5}{12}$π；
∴S_扇形ABA1+S_扇形A1CA2=$\frac{5π}{4}$+$\frac{5π}{12}$=$\frac{5π}{3}$．
故答案為$\frac{5π}{3}$．

點評 本題考查了扇形的面積和軌跡，正確作出A的軌跡并正確應用扇形面積公式是解題的關鍵．