Question

15．如圖，△ABC中，∠BCA=75°，∠ABC=45°，AB=6$\sqrt{2}$，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑作⊙O分別交AB、AC于E、F，連接EF，當線段EF長度取最小值時，CD=12-6$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連結(jié)OE、OF，作OG⊥EF于G，AH⊥BC于H，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，易得△ABH為等腰直角三角形，則AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=6，根據(jù)三角形內(nèi)角和計算出∠BAC=60°，于是根據(jù)圓周角定理得到∠EOF=2∠BAC=120°，則∠OEF=30°，接著根據(jù)垂徑定理得EG=FG，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到EG=$\sqrt{3}$OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，則EF=2EG=$\sqrt{3}$r，由于AD為⊙O的直徑，利用垂線段最短得AD=AH=6時，AD最短，半徑最小，EF最小，此時CD=CH，接著利用75°的正切值求出CH，從而得到CD的長．

解答 解：連結(jié)OE、OF，作OG⊥EF于G，AH⊥BC于H，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，
∵∠ABC=45°，
∴△ABH為等腰直角三角形，
∴AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6$\sqrt{2}$=6，
∵∠BCA=75°，∠ABC=45°，
∴∠BAC=180°-75°-45°=60°，
∴∠EOF=2∠BAC=120°，
∵OE=OF，
∴∠OEF=30°，
∵OG⊥EF，
∴EG=FG，
在Rt△OEG中，OG=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{1}{2}$r，
∴EG=$\sqrt{3}$OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
∴EF=2EG=$\sqrt{3}$r，
∵AD為⊙O的直徑，
∴當AD=AH=6時，AD最短，半徑最小，EF最小，此時CD=CH，
在Rt△ACH中，tan∠ACH=tan75°=$\frac{AH}{CH}$=2+$\sqrt{3}$，
∴CH=$\frac{6}{2+\sqrt{3}}$=12-6$\sqrt{3}$，
∴此時CD的長為12-6$\sqrt{3}$．
故答案為12-6$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�也考查了圓周角定理和勾股定理．