Question

7．如圖所示，△ABC和△AEF為等邊三角形，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，且E到點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5，求∠AEB的度數(shù)．

Answer 1

分析 連接FC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，求出∠BAE=∠CAF，證出△BAE≌△CAF，推出CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，求出CE²=EF²+CF²，推出∠CFE=90°即可求得．

解答 解：連接FC，
∵△ABC和△AEF為等邊三角形，
∴AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF=60°-∠CAE，
在△BAE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAF，
∴CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，
∴EF=3，CE=5，
∴CE²=EF²+CF²，
∴∠CFE=90°
∵∠AFE=60°，
∴∠AFC=90°+60°=150°，
∴∠AEB=∠AFC=150°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，有一定的難度．