Question

17．如圖是“分?jǐn)?shù)三角形”數(shù)表，記第i行從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)為a_i，j（其中i、j均為正整數(shù)且j≤i），如a_5，2=$\frac{1}{20}$，a_7，6=$\frac{1}{42}$；請(qǐng)認(rèn)真觀察此數(shù)表的規(guī)律并完成下列作答．
（1）第10行的第一個(gè)數(shù)為$\frac{1}{10}$，第10行的第二個(gè)數(shù)為$\frac{1}{90}$；
（2）我發(fā)現(xiàn)了此數(shù)表有以下規(guī)律：
①第i行的第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)均為$\frac{1}{i}$（用字母i來(lái)表示）；
②請(qǐng)仔細(xì)觀察每行相鄰兩個(gè)數(shù)與它們頭頂上的那個(gè)數(shù)的關(guān)系，并完成下面填空：a_i，2+a_i，3=a_{（i-1），2}（其中i為正整數(shù)且i≥3）；
（3）請(qǐng)利用第（2）問(wèn)②的規(guī)律計(jì)算：$\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{30}+\frac{1}{60}+\frac{1}{105}$．（請(qǐng)給出運(yùn)算過(guò)程）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)表的規(guī)律，即可得出第10行的第一個(gè)數(shù)以及第二個(gè)數(shù)；
（2）①根據(jù)數(shù)表的規(guī)律，即可得出第i行的第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)；
②根據(jù)每行相鄰兩個(gè)數(shù)的和等于它們頭頂上的那個(gè)數(shù)，即可得到a_i，2+a_i，3=a_{（i-1），2}；
（3）利用第（2）問(wèn)②的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，即可得到計(jì)算結(jié)果．

解答 解：（1）根據(jù)每一行的第一個(gè)數(shù)的分母與行數(shù)相同，可得第10行的第一個(gè)數(shù)為$\frac{1}{10}$；
根據(jù)每一行的第二個(gè)數(shù)的分母是第一個(gè)數(shù)的分母與前一行的第一個(gè)數(shù)的分母的乘積，可得第10行的第二個(gè)數(shù)為$\frac{1}{90}$；
故答案為：$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{90}$；

（2）①由數(shù)表可知，第i行的第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)均為$\frac{1}{i}$；
②根據(jù)數(shù)表可得，每行相鄰兩個(gè)數(shù)的和等于它們頭頂上的那個(gè)數(shù)，故a_i，2+a_i，3=a_{（i-1），2}；
故答案為：$\frac{1}{i}$，a_{（i-1），2}；

（3）$\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{30}+\frac{1}{60}+\frac{1}{105}$
=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{6}）+（\frac{1}{6}-\frac{1}{12}）+（\frac{1}{12}-\frac{1}{20}）+（\frac{1}{20}-\frac{1}{30}）+（\frac{1}{30}-\frac{1}{42}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{42}$
=$\frac{10}{21}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)字變化類問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問(wèn)題的方法．