Question

18．如圖，已知矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F．若AB=4，BC=8，求四邊形AFCE的面積．

Answer 1

分析 由ASA證明△AOE≌△COF，得出對應(yīng)邊相等EO=FO，證出四邊形AFCE為平行四邊形，再由FE⊥AC，即可得出平行四邊形AFCE為菱形，然后再利用勾股定理計(jì)算出AC和EF的長，進(jìn)而可得四邊形AFCE的面積．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，F(xiàn)E⊥AC，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO=FO，
∴四邊形AFCE為平行四邊形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四邊形AFCE為菱形．
∴AF=FC，
設(shè)BF=x，則CF=AF=8-x，
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，
∴4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴FC=5，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴CO=2$\sqrt{5}$，
在Rt△FCO中，F(xiàn)O=$\sqrt{F{C}^{2}-C{O}^{2}}$=$\sqrt{25-20}$=$\sqrt{5}$，
∴EF=2$\sqrt{5}$，
∴四邊形AFCE的面積為；$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×4$\sqrt{5}$=20．

點(diǎn)評 此題主要考查了菱形的判定和菱形的面積，關(guān)鍵是掌握對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，菱形的面積等于對角線之積的一半．